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REPUBLICJUE FRANCAISE

Ministere de la Coopération

ELEMENTS

I DsECONOMIE DES TRANSPORTS

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I SERVICE DE L'ADMINISTRATION OENERALE. EIO rue Monsieur, P

Pierre SUARD et Michel WALRAVE

Ingénieurs des Po,nts et Chauss6es

Financé par le Fonds d'Aide et de Coopération, le présent ouvrage
a été composé sous l'égide d'un groupe d'études pour élaborer une
doctrine coh6rente de coopération dans le domaine des transports et pour
étudier des cas d'application.

Le Président de ce groupe de travail a ét6 de' 1962 à 1967,
Monsieur Pierre Donatien COT, Directeur Génbral de 1'Aéroport de
Paris, aujourd'hui Directeur Général d'Air-France, et depuis 1967,
Monsieur Pierre LHERMITTE, Directeur Adjoint de SElectricité de France
Maître de conférence à SEcole Polytechnique.

Un effort de vulgarisation remarquable a été fait par les rédacteurs.
U permet à tous les lecteurs ayant une formation mathématique
suffisante de lire ce document avec un très grand profit.

M.M. SUARD et WALRAVE, tous deux ingénieurs des Ponts et Chaussées,
le premier à l'Aéroport de Paris, le deuxième à la S.N.C.F. ont rédigé
cet ouvrage.

Nous tenons toutefois à attirer l'attention du lecteur sur
la nécessité qu'il y a à accepter un effort préalable de ré-
flexion théorique avant d'étre en mesure d'intervenir vala-
blement dans l'étude et rnieux la solution des problèmes éco-
nomiques, Le secteur des transports se caractérise par
une certaine spécificité qui appelle, à notre sens, un sur-
croft de réflexion : bien souvent la complexité de chaque
situation réelle ne peut être débrouillée, ordonnée et inter-
prétée que par un retour aux sources. Nous avons cherché à
exposer, sous une forme tr&s corfdensée, les résultats théori-
ques qui permettent de résoudre les problèmes courants.

Nous avons été amenés à écrire cet ouvrage pour servir d'in-
troduction à un manuel d'économie des transports dont l'ariibi-
tion est de traiter l'ensemble des probl&mes économiques qui
se posent dans le secteur des transports, qu'il s'agisse de
questions de théorie, d'écononétrie,d'organisation des entre-
prises ou d'elaboration des plans.

Ces circonstances expliquent le contenu et la forme du pré-
sent ouvrage. Nous nous sommes limités 3 un exposé simplifié
des éléments d'économie qui nous paraissent indispensables
pour que les études concrètes soient abordées sur des bases
suffisamment précises et solides-Mais nous nous sommes abste-
nus de montrer comment les concepts sont utilises ?ans les
études réelles, Les quelques exemples que nous citons ne le
sont qu'à titre d'illustration directe d'un raisonnement thé-
orique.L'ouvrage peut, ainsi conçu, apparaitre trop abstrait.

L'ensemble des Cléments d'économie que l'on trouvera dans cet
ouvrage ont été élaborés et exposés pendant les vingt derni&-
res annees, MM, ALLAIS, BOITEUX, LESOURNE, MASSE ont joué un
grand rale dans leur 6laboration. Le lecteur pourra toujours
se reporter avec profit aux publications originales de ces
economistes,

JANVIER 1966.

TABLE DES MATIERES

) I . schBma classique de 18Bconomie ................................. . II La production
............................... . 12 La consommation

13 . L'équilibre général et l'optimum de
gestion .......................................

( II . prise en compte de l'aspect temporel
21 . Les arbitrages individuels dans Le temps ......
22 . Les comportements de l'entreprise; actua- ...................................... lisation
23 . Le choix des investissements ..................
24 . L'équilibre de l'offre et la demande de ...................................... capitaux
31 . Les fonctions économiques de llEtat ...........
. ..... 32 La comparaison des Situations Economiques

33 . Formalisation des activités spécifiques de
1'Etat ........................................

.................... . 34 Prise en compte des imp8ts
IV. coût marginal et politique de prix . ... 41 Coût marginal à court terme et B long terme

42 . L'incidence de la forme de la demande sur
le tarif ......................................

43 . Le problème de la discontinuité d'équipement ..
. . 44 Le coût social ...............................

.......... . 45 Tarif de transport et rentes de site
46 . Rendement croissant : le problème du déficit ..

V . O t a blissement d'un plan de transport
51 . L'établissement d'un prograuune.dléquipements ..

................ 52 . L'entretien\\ et renouvellement
53 . L'amortissement et le calcul des prix de ....................................... revient

................................. 54 . Caractères spécifiques des investissements de-transports ....... III

schéma classique l'économie

11 la production

11.1 NOTION DE PRODUCTION

La n o t i o n d ' a c t i v i t é p roduc t r i c e e s t i n t u i t i v e . 0 n peu t donner
une d é f i n i t i o n t r è s l a r g e d'une e n t r e p r i s e de produc t ion , en
d i s a n t q u ' i l s ' a g i t d 'une c e l l u l e dont l e r a l e e s t de f a i r e
a p p a r a f t r e des b i ens e t des s e r v i c e s , appe lés " produi t s" ou
"outputs" , à p a r t i r d ' a u t r e s b i ens ou s e r v i c e s dés ignés par
l e terme " f a c t e u r s de product ion" ou l' inputsf! .L'étendue de
c e t t e d é f i n i t i o n appa ra f t s i l ' o n veu t b i en cons idé re r comme
d i s t i n c t s du po in t de vue économique, non seulement des b i ens
physiquement d i f f é r e n t s , m z i s encore des b i ens physiquement
i d e n t i q u e s , mais d i spon ib l e s en des l i e u x d i s t i n c t s ou à des
époques d i f f é r e n t e s .

A ins i , l ' a c t i v i t é c o n s i s t a n t à f o u r n i r un b i en s u r un marché
de consommation B à p a r t i r du même b i e n d i spon ib l e en A e t
d 'un s e r v i c e de t r a n s p o r t AB pour ra ê t r e cons idé ré c o m ~ e une
a c t i v i t é p roduc t r i c e .

11.2 FONCTION DE PRODUCTION

11.21 D é f i n i t i o n

Dans l e c a s où il n ' y a qu'une s e u l e s o r t e de b i en p rodu i t
(A) à p a r t i r des f a c t e u r s de produc t ion (X), ( Y ) , (Z ) , i l es;
p o s s i b l e de d é f i n i r la q u a n t i t é maximum A d e b ien ( A ) que
l ' o n peut p rodu i r e pour des q u a n t i t é s X, Y , - Z , des f a c t e u r s
m i s en oeuvre, l ' o r g a n i s a t i o n de la produc t ion é t a n t t e chn i-
quement opt imale :

f (X, Y, Z,) s e r a une fonc t i on non déc ro i s san t e de X, Y , Z.

11.22 Rendements

Pour des v a l e u r s Yo Zo des a u t r e s f a c t e u r s supposées constan-
t e s , l a q u a n t i t é p r o d u i t e A v a r i e avec la q u a n t i t é X de fac-
t e u r s (XI.

A
Le r appo r t - v a r i e en fonc t i on de X, il commence en g é n é r a l

X

par c r o i t r e , passe par un (ou p lus i eu r s maximums), puis de-
c r o i t e t f i n i t tou joiirs par s 'annuler asymp t o t iquement pour
les tres grandes va leurs de X. Ce rappor t e s t appel6 "rende-
ment moyen" du fac teu r (XI.

Dans l e mame cadre,, dlhypothSses, on d é f i n i t l e "rendement
marginal" ou " l l e f f id ience marginale" du fac teu r X corne l a
ddrivée p a r t i e l l e ; son exis tence e s t donc l i é e à la pos-

dx
s i b i l i t é de f a i r e v a r i e r continûment l a quan t i t é X du f ac teu r
e t au ca rac tg re der ivable de l a fonct ion de production.

11.3 GESTION OPTIhAkE D'UNE ENTREPRISE DE PRODUCTION
Recherche du coOt minimum.

11.31 Formulation

Le premier p~oblSme qui s e pose pour l a ges t ion d'une a c t i v i -
t é de production c a r a c t é r i s é e par une fonct ion de production

e s t de déterminer pou1 un niveau de production Ao donné, l e s
quan t i t é s X , Y , Z , de f ac teu r s à met t re en oeuvre, pour assu-
r e r l a production au moindre coOt.

S i x , y , z sont l e s p r i x u n i t a i r e s des f ac teu r s X , Y , Z , l a
dépense t o t a l e e s t :

D = xX+yYutZ

Le problSme s e fcrmalise a i n s i de l a façon suivante : i l
s ' a g i t de t rouver 1.e systSme de va leurs X , Y , Z , qu i rend m i -
nimum D,sachant que aes va leurs sont l i é e s par l a condit ion :

(On suppose pour l ' i n s t a n t que l e s p r i x payés, x , y , z sont
indépendants des quan t i t é s de f a c t e u r s mises en œ u v r e ) .

Les condit ions nécessa l r e s (au premier ordre) de ce minimum
s 'obt iennent en annulant l e s dérivées p a r t i e l l e s de :

e t en adjoignant à ces condi t ions la r e l a t i o n ( 1 , l )

On ob t i en t a i n s i l 'ensemble des condit ions su ivant :

lL.32 Représentat ion géométrique

Une rep résen ta t ion géométrique simple des raisonnements pré-

cédemts, dans le cas de deux facteurs X et Y seulement, peut
Btre donnees dans le plan de coordonnees X et Y.

Toute combinaison X et Y de facteurs qui correspond au niveau
de production Ao est representee par un point N situé sur la
courbe (Co) d'equat ion

'~(x,Y) = Ao

Alors que tout point situé dans la région situde au Nord-
Est de la eourbe Co correspond à une situation dans laquelle
il y a gaspillage des facteurs de production si la production
se limice à AO.

La dépense correspondant au point hi qst
L proportionnelle à la longu~ur 08, H 6taat

le pitd de la perpendiculaire abaissre de
N sur la droite issue de l'origine et p-
rallele au vecteur prix (x, y). La dioan,ae
minimum correspond donc au point M te1 m e
MH soit tangente en M à la courbe (Co . En
ce point M,la normale A la courbe (Col est
parallele au vecteur prix,ceci n'est aut're
que l'ensemble des conditions figurant A
la première ligne des relations (1, 2 ) .

X

11.33 Pro~riete de l'o~timum : Loi du coOt marginal

Si, à partir d'un ensemble X, Y, Z, on accrott la quantite X
de SX, la quantite produite augmente de :

SA = fi SX

pour un accroissement de ddpense :

SD = xSX

Le "coOt marginal de A en X" est le quotient de cet accroie-
sement de depense par l'accroissement de production.

Les relations (1,î) montrent que lorsque le coOt est minimum:

Dans ces aonditions et seulement lorsqu'il en est ainsi, on
peut parler du coOt marginal de A sans specifier au moyen de
quel facteur (ou de quelle combinaison marginale de facteurs)
on obtient l'accroissement de production.

Cette propriéte est fondamentale et seratres utilisee dans la
suite. Elle peut Btre utilisee notamment pour determiner par
tatonnement si la production est bien au minimum de coOt (on
verifie 116galit6 des coOts marginaux par rapport A chacmdes
facteurs de production).

11 .4 GESTION OPTIMALE D'UNE ENTREPRISE DE PRODUCTION .
CHOIX DU NIVEAU OPTIMUM DE PRODUCTION.

11.41 Fonc t ion de dépense

On v i e n t de v o i r comment, pour un systeme de p r i x donné x , y ,
x , s ' e f f e c t u a i t la recherche de la combinaison op t imale des
f a c t e u r s X , Y , Z conduisant au coQt minimum, pour une quan t i -
t é p r o d u i t e A.

X., Y , Z a p p a r a i s s e n t donc comme des f o n c t i o n s d e x , y , z e t
A. Pour un systsme uonné, t r a v a i l l a n t au coQt minimum, X, Y ,
Z e t D = xX + yY + zZ son t donc f o n c t i o n de A.
D = D (A) e s t appe lée f o n c t i o n de dépense.

D(A) e s t l e coQt moyen
A

D ' ( A ) e s t l e coQt marg ina l .

On peut remarquer i c i que s i l e coOt moyen pa s se pa r un mini-
mum, s a d é r i v é e é g a l e à :

A D ' (A) - D(A) e s t n u l l e

e t l ' o n a :

En un p o i n t où l e coQt moyen e s t minimum,le coQt marg ina l e s t
é g a l au coQt moyen.

11.42 Choix du n iveau de p roduc t ion à p r i x de ven t e
donne

S i l ' o n suppose que l e b i e n (A) s ' é c o u l e s u r un marché à un
p r i x "a1' s u r l e q u e l l e p roduc teur e s t censé n ' e x e r c e r aucune
i n f l u e n c e , l a ven t e d 'une q u a n t i t é A de c e b i en p rocu re r a au
p roduc teur une r e c e t t e aA e t un b é n é f i c e :

B(A) = aA - D(A)
Le b é n é f l c e s e r a maximum aux c o n d i t i o n s

i - dcm d 2 ~ Dtt(A) < O s o i t -
dA

2 dA > O

La c o n d i t i o n (1 ,4 ) impl ique que l e coQt marg ina l d o j t e t r e
c r o i s s a n t ; e t l a c o n d i t i o n (1 ,3 ) s i g n i f i e que, dans une zone
à coQt ma;ginal c r o i s s a n t l a - p r o d u c t i o n d o i t ê t r e poussée
j u s q u l a u p o i n t où l e coQt marg ina l dev i en t é g a l au p r i x de
ven te . -
Dans' l e c a s où l a v a r i a t i o n du coQt marg ina l à l ' a l l u r e de l a

t

courbe (cm) sur la fi-
gure 2,le point optimal
se situera donc en M.

De plus, l'entrepreneur
devra vérifier qu'en ce
point le prix a est su-
périeur ou égal au coOt
moyen pour éviter de
travailler à perte.
C'est le cas sur la fi-
gure, où la production
optimale Ao laissera un
bénéfice égal B l'aire
hachurée ( ~ r ) est la
courbe représentative
du coût moyen).

11.43 Chofx de l'objectif de production à prix de vente
variable

D = demande Les hypothèses effec-
Prix tuées précédemment, ac-

R = recette marginale ceptables pour une en-
treprise trop petite
par rapport au marché
pour pouvoir influer
sur le prix, ne sont
plus valables lorsque
cette entreprise est
précisément suffisam-
ment importante pour
que les quantités qublle
apporte sur le marché '

1 \\' soient susceptibles
I

d 'engendrer des varia-
I tions de prix. C'est en
I particulier le cas si ,
I l'entreprise, seule à
I
t produire le bien (A),
L -- _- - -- -r dispose d'un monopole

Ao Quantites absolu.

Le erix auquel l'entreprise peut écouler sa production appa-
raft alors comme une fonction, en général décroissante, de la
quantité produite.

Le bénéfice s'écrit alors :

B(A) = Aa(A) - D(A)

Pour que le bénéfice soit maximum il faut que sa dérivée soit
nulle :

d'où

Pour que le bénéfice soit maximum il faut aussi que sa dérivée
seconde soit négative : la condition du second ordre s'écrit :

d da - (a + A -1 < DI' (A)
dA dA

Si l'on désigne la recette par

R(A) = a (A)A

(1,5) s'écrit :

R'(A) = D'(A)

et (1,6) s'écrit :

RI'(A) <D''(A)

Ceci slinterpr&te en disant que le bénéfice est maximuni lors-
que le coOt marginal est égal à la recette marginale, la pente
de la courbe de coOt marginal étant supérieure à la pente de
la courbe de recette marginale.

En général, a (A) étant une fonction décroissante de A,la re-
cette marginale est inférieure au prix de vente. L'abscisse
Ao de l'intersection M de courbe de recette marginale (R) et
de coOt marginal (Cm) fournit le niveau de production, le prix
de vente a, étant czlui qui correspond sur la courbe de deman-
de (D) à la quantité Ao.

Le bénéfice est égal à l'aire hachurée sur la figure 3.

11.5 Généralisation de la fonction de production : Cas
de plusieurs biens produits

Les notions et demastrations précédentes s'étendent facile-
ment au cas de plusieurs biens produits.

Supposons qu'une activité productrice mette en jeu des quanti-
tés qi de biens repérés par un indice i (i = 1 ... n) avec la
convent ion

qi > 0 s'il s'agit d'un bien effecti-ae-
ment produit

qicC s'il s'agit d'un bien consomme.

Les quantités mises en jeu sont liées par une fonction de pro-
duc t ion.

Si les prix apparaissent comme donnés, les conditions sous
lesque 1 les le béné fice

e s t maximum, s ' g c r i v a n t

f ' l f ' 2 - = - = f 'n
. S . . . . . . = -

P l P2 P n

a i ( e n posan t f ' = -)
i a q i

auxque l l e s i l f a u t a d j o i n d r e l a c o n d i t i o n ( 1 , 7 ) .

I l en r é s u l t e que, à l 'optimum, l e coOt marg ina l d 'un p rodu i t
e s t le'même que l que s o i t l e f a c t e u r dont l a v a r i a t i o n a s s u r e
la p roduc t i on d 'une u n i t é supp l émen ta i r e , e t i l e s t é g a l à son
p r i x de ven te . De même l a p r o d u c t i v i t é marg ina le d 'un f a c t e u r
e s t la même q u e l l e que s o i t la manière dont e s t u t i l i s é e l ' u -
n i t é supplémenta i re de ce f a c t eu r , a cc ro i s s emen t de p roduc t i on
d k n ou de p l u s i e u r s produi ts ,économie p o r t a n t s u r d ' a u t r e s
f a c t e u r s e t c e t t e p r o d u c t i v i t é marg ina le e s t é g a l e au p r i x
d ' acha t .

Ces r é s u l t a t s ne s u b s i s t e n t p l u s , s i pour c e r t a i n s des b i e n s
m i s en oeuvre l e s p r i x va . r ient avec l e s q u a n t i t é s ( s i t u a t i o n
de monopole ou monopsone).

12 la consommation

1 2 . 1 FONCTION D'UTILITE INDIVIDUELLE POUR UN CONSOMMATEUR
DONNE

Les développements s u i v a n t s s e proposent de donner une sché-
m a t i s a t i o n du comportement du consommatebr dans l e c ad re où
c e l u i - c i e s t appe l é à exe rce r s e s choix.

12.11 Courbes e t s u r f a c e s d ' i n d i f f é r e n c e

S i l ' o n dés igne pa r (A), (BI, (C) ... l e s d i v e r s b i ens de
consommation f i n a l e e t pa r A , B , C .... l e s niveaux e f f e c t i f s
de consommation de c e s d i v e r s b i e n s , i l r é s u l t e de c e s consom-
mations un c e r t a i n n iveau de s a t i s f a c t i o n pour un consommateur
donné. D ' au t r e s niveaux de consommation t e l s A ' , BI , C l . ..
peuvent p rocure r une s a t i s f a c t i o n é q u i v a l e n t e du aonsommateur.
Pour un nombre de b i e n s consommables r é d u i t à deux, dans un
diagramme à deux dimensions, l e s p o i n t s r e p r é s e n t a t i f s de d i -
v e r s ensembles de consommation jugés é q u i v a l e n t s , s e rassem-
b l e n t , pour a u t a n t que l ' o n p u i s s e cons idé r e r des v a r i a t i o n s
con t i nues des niveaux de consommation, s u r une même courbe
(U).

De façon géné ra l e ( s au f s a t u r a t i o n des be so in s ) N (A", B)
s e r a jugé p r é f é r a b l e à M <A,B) s i A" > A.

L'ensemble des points N' équivalents à N.se
rassemblent sur une deuxième courbe d'in- -
différence (U'). (U') et (U) n'ont aucun

I
point commun, le contraire signifierait en \\ \\ 1
effet, que M et N sont équivalents.

Ainsi sur le diagramme A B, on peut tracer
un ensemble de courbes d'indifférence, cor-
respondant chacune à un niveau de satisfac-
tion constant et qui est d'autant plus .éle-
vé que la courbe est plus éloignée de l'ori-
gine.

Dans le cas d'un nombre plus important de
"' 1

biens n, on définit de même un ensemble de -
"surfaces" d' indifférence, à n- 1 dimensions. A A' A" A 1 1

.2.12 Fonction d'utilité individuelle

On peut maintenant affecter à chacune des surfaces ou courbes
d'indifférence un indice croissant avec le niveau de satisfac-
tion. A chaque point représentatif de l'espace des biens con-
sommés, correspondra une surface d'indifférence passant par ce
point, et partant, une valeur de l'indice. Celui-ci apparaft
donc comme une fonction définie dans l'espace des consomma-
t ions.

S = S (A, B, C .... )
les surfaces d'indifférence ayant pour équation :

S (A, B, C .... ) = C ste
Cette fonction est appelée fonction d'utilité individuelle (ou
fonction de satisfaction) .

L'indicateur S ainsi défini n'a qu'une signification ordinale ;
il n'est défini qu'à une fonction monotone croissante pres. La
définition d'utilités "cardinales" permettant une véritable
mesure des niveaux de satisfaction, nécessite de faire appel à
des hypothèses beaucoup plus délicates que celles qui ont été
utilisées explicitement ou implicitement et qui sont :

- possibilités de classer les ensembles de consommation,c'est-
à-dire étant donné 2 possibilités M et N quelconques, pouvoir
dire celle que l'on préfere ou les reconnaftre équivalentes.

- transitivité des choix : si M est préféré à N, et N à P,
alors M est préféré à P.

- continuité des quantités consommables.

12.13 Propriétés des fonctions d'utilité

a - Les dérivées premieres des fonctions d'utilité sont posi-
tives, un accroissement de consommation relatif à un seul

bien procure un accroissement de satisfaction (en dehors
du cas de satiété où la dérivée est nulle).

b - Convexité des courbes ou des surfaces dlindifférence.Cette
propriété signifie que, pour un niveau de satisfaction
donnée, le rapport

est une fonction décroissante de A, c'est-à-dire que l'u-
tilité marginale relative de (A) par rapporta (BI décroit,
à niveau de satisfaction constante, lorsque la consomma-
tion de (A) s'accroft. Il en est généralement ainsi.

12.2 L'OPTIMUM DU CONSOMMATEUR

D'apres ce qui précede, la psychologie du consommateur est ca-
ractérisée par la fonction d'utilité individuelle S. Le con-
sommateur est appelé à exercer ses choix sur des marchés de
consommation où les prix unitaires des divers biens sont a, b,
c, ...., l'ensemble de ses consommations étant limité par le
revenu r dont il dispose.

12.21 Optimisation de l'utilité

Le consommateur doit donc déterminer A, B, C, de sorte que
S (A,B,C) soit maximum sous la contraite Aa + bB + CC = r (1)
I l en est ainsi lorsque :

Les utilités marginales sont, l'optimum, propor-
tionnelles au prix.

Une représentation graphique commode peut etre
donnée dans le cas de deux biens.

Les consommations possibles sont représentées
par des points situés en-dessous de la droite de

u budget (Dl d'équation aA + bB = r -L'utilité maximum est obtenue en M sur la courbe a A
d'indifférence tangente à la droite de budget.

A l'optimum :

A= - dS est l'accroissement de satisfaction procuré par un re-
dr venu supplémentaire d'une unité. On 1 'appelle 1 'utilité

marginale de la monnaie. Il résulte de ce qui précède que, à

l'optimum, la variation d'utilité individuelle résultant de la
dépense d'un revenu supplémentaire est la meme quand on l'éva-
lue séparément pour chacun des accroissements de consommation
auxquels elle donne lieu. Cette variation d'utilité est p-
portionnelle à la variation de dépense B prix constant, le
facteur de proportionnalité étant constitué par l'utilité mar-
ginale de la monnaie.

12.22 Demande individuelle

Les relations (2) jointes à l'équation du budget
déterminent les consommations A, B, C en fonction
des prix a, b, c et du revenu r.

Ainsi A = f(a,b,c,r)

Si b, c, et r sont fixés, la demande A du consomma-
teur varie en fonction du prix a (B et C varient
également quand a varie) .
Si l'on représente cette variation sur un graphique,
on obtient la "courbe de demande du bien A" par le
consommateur considéré. Cette courbe est bien enten-
du fonction des autres prix et du revenu.

12.23 Schématisation des revenus - Prise en compte du
travail

Dans tout ce qui précede et bien que cette présentation puisse
paraitre quelque peu schhatique et brutale,le travail W four-
ni par l'individu est considéré comme un élément de sa satis-
faction et donc, comme une consomation négative - W. Si w est
le salaire payé, l'équation de budget s'écrit :

OU encore aA + bB = wW + r
Cette relation met en évidence le caractere extra salarial du
revenu r, l'équation precédente signifiant simplement que la
valeur de ce qui est consommé (au sens courant) est égale au
revenu total décomposé en deux constituants : salarial et
autre.

12.24 Elasticités

Supposons qu'il y ait n biens de consommation repérés par
l'indice i (i de 1 à n)

pi le prix du bien i

qi la quantité consommée de i

r le revenu.

On notera : as (q l......
S.
1 =

qn)
a q:

Les r e l a t i o n s d'optimum s ' é c r i v e n t '

A

Ces équat ions déterminent :

qi e s t l a fonct ion de demande du consommateur i n t é r e s s é pou
l e bien i. On remarquera que r i e n n ' e s t changé s i p r i x e
revenu sont m u l t i p l i é s par un même fac t eu r : q i e s t donc un
fonct ion homogene de degré 0.

On appe l l e é l a s t i c i t é de revenu de l a consommation du b ien

r 6 Cli E = - -
i q i b r

Les é l a s t i c i t é s de p r i x sont :

Parmi c e l l e s - c i , on d i s t ingue l e s é l a s t i c b t é s d i r e c t e s (1)
Pi bqi

= - -

On a donc par d é f i n i t i o n (2) :

S i L'on i n t r o d u i t l e s c o e f f i c i e n t s budgetaires ( p a r t du reve
nu consacré à l a consommation du b ien i )

P i q i
*i

= -
r

On peut montrer q u ' i l e x i s t e e n t r e Les é l a s t i c i t é s l e s r e l a
t i o n s su ivantes :

- - - - - -

(1) La s i g n i f i c a t i o n concre te des é l a s t i c i t é s e s t f o r t simple :
s i par exemple, s e u l p i v a r i e de Ap i , l a formule montre que q i v a r i e r a de Aq
qu i e s t t e l que Aqi - c ' e s t- à- d i re que s i l e p r i x augmente de I O

i
"ii '

- 2 l a q u a n t i t é consommée diminue de 20 %. s i 'lii -

(2) Cet te r e l a t i o n s i g n i f i e t ou t simplement que l a v a r i a t i o n r e l a t i v e de l a con
sommation e s t éga le à l a somme des v a r i a t i o n s r e l a t i v e s des p r i x e t du reve
nu, pondérées par Les é l a s t i c i t é s correspondantes.

!s r e l a t i o n s de cohérence montrent que l e s é l a s t i c i t é s d é f i -
.es p lu s haut ne sont pas indépendantes.11 e s t u t i l e p a r f o i s
! l e s u t i l i s e r pour développer t o u t e s l e s conséquences d'hy-
) t hè se s e f f e c t u é e s s u r l e s é l a s t i c i t é s .

! . 3 LA DEMANDE COLLECTIVE

12.31 Demande c o l l e c t i v e

. l'on cons idère maintenant une c o l l e c t i v i t é de consommateurs
kpérés chacun par un ind i ce k , l e s r e l a t i o n s d ' op t imi sa t i on
~ d i v i d u e l l e s déterminent l e s consommations i n d i v i d u e l l e s en
mc t ion des p r i x (commun pour t o u s ) e t des revenus i nd iv i -
i e l s . La sommation de ces demandes i n d i v i d u e l l e s , pour
.en donné, f o u r n i t l a demande c o l l e c t i v e :

5t te demande c o l l e c t i v e e s t donc fonc t ion des p r i x e t de
)us l e s revenus i nd iv idue l s .

12.32 E l a s t i c i t é s c o l l e c t i v e s

1 d é f i n i t i o n d ' é l a s t i ~ i t é s c o l l e c t i v e s de p r i x ne soulèvr
1s de d i f f i c u l t é s ,

1 l ' o n pose en e f f e t :

L v o i t que : .

é l a s t i c i t é c o l l e c t i v ~ e s t é g a l e à l a moyenne des é l a s t i c i t é s
is i nd iv idus pond4r6s par l e u r s consommations r e s p e c t i v e s .

. r e l a t i o n de cohérence ( 6 ) d é f i n i e p lu s haut s e t ranspose
. tégralement.

, d é f i n i t i o n d'une é l a s t i c i t é c o l l e c t i v e des revenus e s t p lu s
l i c a t e . Il e s t p lu s commode d ' a i l l e u r s pour l 'exposé q u i
.it de r e c o u r i r à l a no t ion o r d i n a i r e de dé r ivée p a r t i e l l e
u t b t qu ' à c e l l e d ' é l a s t i c i t é . On a en e f f e t :

i
k

+ z a q i - ic
k d r

ne peut d é f i n i r une dé r ivée p a r t i e l l e de l a consommation
oba l e par r appor t au revenu g loba l que s i l ' o n connaî t l a
çon dont l a v a r i a t i o n c o l l e c t i v e de revenu e s t r é p a r t i e
t r e l e s d i v e r s ind iv idus . S o i t :

avec

On a a l o r s :

Aihs i , l a dér ivée p a r t i e l l e de l a consomat ion g lobale par
rappor t au revenu g lobal e s t &gale à l a somme pondérhe des
dér ivées ind iv idue l l e s par l a p a r t i c i p a t i o n marginale de cha-
cun dans l a v a r i a t i o n du revenu g lobal .

12.33 Demande g lobale

C ' e s t sous l a meme ré se rve que précédemment,que pourront ê t r e
d é f i n i e s ( su r l e p lan théor ique) l e s fonct ions de demande
globales .

Sur l e p lan p ra t ique , ces fonct ions sont d ' a i l l e u r s en général
f o r t d i f f i c i l e s à appréhender. A dé fau t , on s e contente dans
l a p lupa r t des cas de l e s a s s imi l e r à l e u r p l an tangent , ou
bien de déterminer , à l ' a i d e de c a l c u l s de c o r r é l a t i o n , l e s
c o e f f i c i e n t s d'une fonct ion de forme d é f i n i e à l 'avance s u r
l e p lan théorique.

Dans ces ana lyses , l e s é l a s t i c i t é s e t l e s r e l a t i o n s é t a b l i e s
p lus haut fournissent l e s éléments d 'une ex,plorat ion cohé-
r e n t e des s l t u a t i o n s vo i s ines d'une s i t u a t i o n donnée.

13 I'equilibre general et l'optimum de gestion

On a analysé j u s q u ' i c i , su r l e p lan ind iv idue l , l e s comporte-
ments des p r i n c i p a l e s ca t égor i e s d 'agents économiques : pro-
ducteurs e t cmsommateurs.

I l f au t maintenant examiner, dans l e cadre d'une économie
fermée (11, s i tous ces comportements sont compatibles e n t r e
eux, ou, en d ' a u t r e s termes, s ' i l s peuvent conduire ou non à
une s i t u a t i o n d ' é q u i l i b r e cohérente.

13 .1 L'EQUILIBRE

13.11 Les d ive r s b iens

On a jusqu ' ic i c a r a c t é r i s é l e s d ive r s b iens ou se rv ices en jeu
dans l'économie par une s é r i e d ' i nd ices i va r i an t de 1 à n.

Nous a l l o n s maintenant é t a b l i r une premiere d i s t i n c t i o n en
grandes ca t égor i e s de b iens :

(1) c ' e s t - à- d i r e , sans échange avec l ' e x t é r i e u r . L ' in t roduct ion des échanges ex-
t é r i e u r s ne modifie pas l e c a r a c t è r e des r é s u l t a t s .

- les "richesses naturelles" immédiatement disponibles, mais
en quantité limitée,au cours de la période considérée, ainsi,
les ressources de l'industrie hydroélectrique ou les sites
d'un littoral ;

- les "biens intermédiaires", produits et consommés entigre-
ment à l'intérieur du secteur productif tels les 'lingots de
fonte ou les transports de marchandises ;

- les "biens finaux" destinés à la consommation tels les
transports de voyageurs à des fins touristiques.

- 13.12 Le secteur productif

Il est constitué de p entreprises caractérisées chacune par.
un indice h (h = l...p) et par une fonction de production :

Dans un système de prix, considéré comme une donnée sur la-
quelle il est sans action, l'entrepreneur h est supposé maxi-
miser son revenu, ce qui conduit au systgme de relations :

h
qui déterminent les quantités q en fonction des prix pi i

La sommation des qh pour l'ensemble des entreprises donne des
i

fonctions

Toutes ces fonctions sont homogènes et de degré 0.

On peut considérer,pour le bien de i,les divers cas suivants :

- s'il s'agit d'un bien fina1,qi est positif et repreeenfe
l'offre nette du secteur productif.

- s'il s'agit du travail (ou d'une catégorie de travail), qi
est négatif et sa valeur absolue représente la demande de
travail du systgme productif.

- s'il s'agit d'un bien intermédiaire, qi = O (ce qui fournit
une relation à laquelle doit se conformer le systgme de
prix).

- enfin, dans le cas d'une richesse naturelle (non reproduc-
tible) qi est négatif et sa valeur absolue représente la
demande du secteur productif. Cette demande peut être égale
(cas de l'énergie hydraulique) ou inférieure (cas du char-
bon) à la quantité disponible selon que la richesse natu-
relle considérée n'est pas un bien final ou au contraire
l'est aussi.

13.13 La consommat ion finale

Les divers consommateurs, au nombre de m, ~aracteri 6s par un
k a ... k indice k et par une fonction d' utilité S ( ql, q2 qn )

établissent leurs consommations (et leur travail) de façon*

ce qui conduit aux demandes individuelles

et aux demandes globales obtenues par sommation.

13.14 La compatibilit&des flux de biens

Si l'on note qi, la quantité de richesse naturelle (i) dispo-
nible, l'ajustement des flux de production et de consommation
sera obtenu s'il existe un système de prix pi et une réparti-
tion des revenus rk, tels que :

(si le bien i n'est pas une richesse naturelle qf = O et pour
un bien intermédiaire l'équation (1) se réduit à qi = 0).

Il y a donc n équations (1) d'équilibre des flux comportant
n + m variables homogènes : n prix pi et m revenus rk.
On voit que si l'on détermine la répartition des revenus,
c'est-à-dire m - 1 paramètres, et le niveau général des prix
(en fixant l'un d'entre eux par exemple), il subsiste un sys-
tème de n équations à n inconnues déterminant les autres prix
et le revenu global.

1 ' .15 L * origine des revenus

La sommation, membre à membre des Bquations de budget indivi-
duelles donne :

et comme h qi = C qi
h

il vient

h
or pi qi représente le bénéfice bh de l'entreprise h

pi qi représente le produit entraPnB par la vente des ri-
chesses naturelles (i).

Ainsi, le revenu global (autre que celui procuré par le tra-
vail) peut se décomposer en deux termes :les revenus procurés
par la propriété des entreprises ou revenus mobiliers, et les

revenus procurés par la propriété des richesses naturelles ou
revenus foncier S.

Si l'on désigne par a
kh

la part de pro~riété de l'entreprise
h appartenant à 1 'individu k et par p ki la part des revenus
fonciers attachés à la richesse naturelle i, qui va à l'indi-
vidu k, on a, bien évidement :

Le revenu (autre que salarial .de l'individu k est égal à

et l'équilibre du flux des valeurs est assuré.

13.16 L'équilibre général

En définissant les "droits" de propireté okh et ki 9 on
a'oute au systeme des n équations (1) m équations des revenus
ri, mais l'ensemble ne forme qu'un systeme de n + m-1 rela-
tions indépendantes puisque la somme membre à membre des u.
équations de revenus est identique à la somme des n équations
(1) multipliés préalablement par pi.

On se trouve donc en face d'un système de m + n-1 équations à
n + m variables homogènes. Ce système détermine donc les n
prix et les m revenus à un facteur de proportionnalité pres
(niveau général du prix).

Les développements précédents mettent en évidence l'inter-
action ~rofonde des divers schémas de l'économie et l'im~os-
sibilité d- modifier un prix donné,parfois avec les meilleures
intentions du monde, sans entrafner toutehune suite de réper-
cussions imprévisibles au dépa'kt, celles-ci entrafnant à leur
tour, des mesures l'correctricesll dont 1 'enchafnement peut fi-
nalement conduire l'économie à un imbroglio de mesures dont
on ne saisit plus très bien la nécessité, la signification,
ni même la portée.

13.2 L'OPTIMUM DE GESTION

13.21 L'optimum de production

On s'intéresse ici au secteur productif d'une économie cons-
tituée par p entreprises (caractérisées par leurs contraintes
de production fh = O) et disposant de ressources naturelles
en quantité limitée.

Tout fonctionnement de ce système productif se traduira par
des flux de biens de consomati~n finale, mis à la disposi-
tion des consommateurs. On qualifiera d'optimum l'état du
systeme productif lorsqu'il est impossible, à partir de cet
état, par une modification du fonctionnement du système com-
patible avec les fonctions de production et la limitation des
ressources, d'accroftre la production de l'un quelconque des
biens finaux, sans être parallèlement obligé de diminuer la
production d'un autre bien.

A i n s i , s u r l e diagramme c i- cont re ,
t r a c é dans l 'espace des b i e n s f i -
naux (A) e t ( B I M e t N son t des
p o i n t s r e p r é s e n t a t i f s d ' é t a t s
optimum. L'ensemble des p o i n t s
t e l s que M e t N c o n s t i t u e une
f r o n t i è r e (LI q u i s épa re l e do-
maine. du p o s s i b l e du domaine de / l ' i m p o s s i b l e (hachuré) .
Le p o i n t P p a r c o n t r e n ' e s t pas
optimum, c a r à p a r t i r de P on
peut a c c r o f t r e A s ans mod i f i e r B
e t réciproquement , s o i t encore

A a c c r o f t r e simultanément A e t B.
On s e propose de chercher y u e l l e s cond i t i ons d o i t r emp l i r la
g e s t i o n du système p r o d u c t i f pour que l ' o n s o i t dans un é t a t
optimqm. Le problème s e ramène, dans l e système où l e s qt
son t l e s inconnues l i é e s par l e s r e l a t i o n s :

à exprimer l e s c o n d i t i o n s pour que, s i l ' o n f i x e t o u t e s l e s
v a l e u r s des qi s au f une, q l , q l s o i t maximum.

I l s ' a g i t d 'un problème de maximum l i é , que l ' o n t r a i t e en
u t i l i s a n t l a méthode des m u l t i p l i c a t e u r s de Lagrange, c ' e s t -
à - d i r e en cherchan t l e maximum de l a f o n c t i o n :

p. ( i f 1 1 é t a n t l e m u l t i p l i c a t e u r de Lagrange de l a r e l a t i o n
1 (., )
h ,p c e l u i de la r e l a t i o n ( ,ph)

O o b t i e n t a i n s i , en d é r i v a n t c e t t e f onc t i on par r appo r t aux -fi

R e l a t i o n s q u i peuvent s e m e t t r e sous la forme :

f h (4 ) f i 1 h = l . . . . . - 1 .P - - = - - i =
Pi Pj l . . . . . . n ,ph

Ce r é s u l t a t peu t s ' expr imer en d i s a n t q u ' à l 'optimum, l e s dé-
r i v é e s des f onc t i ons de p roduc t ion do iven t ê t r e p ropo r t i onne l-
l e s à un système de c o e f f i c i e n t s i d e n t i q u e s pour t o u t e s l e s
e n t r e p r i s e s .

On remarque que, s ' i l e x i s t e dans I '4ccnomie un système de
p r i x cons idé r é s comme des données pa r des che f s d ' e n t r e p r i s e s
maximisant l e u r béné f i ce , l ' ensemble de c e s comportements
condui t précisément à des r e l a t i o n s de g e s t i o n du s e c t e u r
p roduc t i f i d e n t i q u e s aux r e l a t i o n s (4 ) donc à une s i t u a t i o n
optimum du s e c t e u r p r o d u c t i f .

Les résultats précédents donnent ainsi une valeur normative à
la "maximation à prix constants1' et à la "vente au coat mar-
ginall'puisqu'il est mis en évidence que les pratiques monopo-
listiques tenant compte des "effets des prix" aboutissent à
des sitbarions non optimales ,entrafnant un certain "gaspilla-
ge" de moyens.

13.22 L'optimum de distribution

Si l'on suppose maintenant que l'on dispose des quantités ql,

q2 ... qn de biens consommables, une cer.taine façon de répar-
tir ces biens entre les mêmes individus composant une collec-
tivité de consommateurs se traduira par des niveaux de satis- ... faction SI, S2 ... Sk Sm pour les individus.
Là encore, on qualifiera d'optimum une distribution à partir
de laquelle il est impossible de trouver une modification des
quantités distribuées permettant d'améliorer la satisfaction
d'un individu sans diminuer celle. d'au moins un autre.

Dans l'espace des utilités individuelles, à m dimensions, il
existe une frontière séparant les zones d'états possibles et
les zones d'états impossibles, et il est intéressant de re-
chercher les conditions à remplir pour être sur la frontière.

Le probleme consiste iciàchercher quelles conditions doiyent
remplir 'les quantites ,qF liées par les relations : \\

pour que soit maximum l'utilité :

toutes les autres utilités étant fixées :

Le problème revient à maximiser la "fonction de Lagrange"

Les cond'tions du premier ordre s'écrivent (dérivées par rap- k port à qi)
k

i - k; = O i = l......n
k = l......n

Soit ei

La distribution doit être telle que les utilités marginales
de chaque individu soient proportionnelles à un systeme de
coefficients identiques pour tous les individus.

Ces conditions sont en particulier remplies si la distribution
se fait par le relais du marché de consommation où les con-
sommateurs déterminent leurs achats en fonction d'un système
de prix unique pour tous.

Ainsi, Les réductions de prix itarifs vbyagei:~ d e chemin de
fer) accordées à certains consommateurs oii les avantages en
nature accordés par des entreprisesà leur personne1,affectent
1 'optimum de distribut ion en détruisant 1 'unicite des prix.

13.23 L'optimum global

On suppose connues : l

- les richesses naturelles disponibles
- les techniques de production (fh = 0,)
- les psychologies ( fonctions d'utilité individuelles) des
consommateurs.

On donnera de 1 'optimum une definition tout à fait analogue à
celle de l'optimum de distribution(1a difference étant qu'ici
un remaniement du système productif permet de modifier les
quantites à distribuer).

Les variables du problème qh q: sont liées par les relations
h h i'

Ph, f (qi) ' O

où les qf sont données ainsi que les niveaux sk d'utilité
1 (k # l), sauf S que 1'011 cherche à maximiser.

Les conditions de ler ordre s 'écrivent :

Il vient en eliminant les p
h
et les ak:

On retrouve donc ici les conditions de l'optimum de distribu-
tion et celle de l'optimum de production, mais on met en 6vi-
dence de plus que le système des "prix" à la consommation,doit
être proportio1;nel au système de prix à la production. Cette
proportionnalité doit d'ailleurs, en l'absence dlEtat, se r6-
duire à une égalité permettant ll&galisation des flux en va-
leur.

On saisit ici clairement que toutes les pratiques consistant
à encourager certaines productions en subventionnant les pro-
ducteurs ou les consommateurs ( à des fins redistributrices
de revenus notamment) ou, au contraire,à freiner par des con-
tingents ou par une taxation abusive d'autres consommations
(sous le prétexte fallacieux qu'elles constituent une excel-

lente "assiette" fiscale) sont de nature à écarter l'économie
de son état optimum et ceci de façon d'autant plus fâcheuse
que généralement les gaspillages ainsi engendrés sont diffici-
lement décelables par des esprits non avertis.

Dans ces divers cas, des systèmes forfaitaires d'allocation
ou de taxation,bien que parfois difficilesBmettre en oeuvre,
laissant intact le système de prix,seront toujours Bpréférer.

13.24 Conclusion : Optimum économique et optimum social

Le concept de l'optimum qui vient d'être développé aboutit B
un certain nombre de critères auxquels doit se conformer le
fonctionnement d'une économie à l'optimum : on pourra consta-
ter qu'une définition peu ambitieuse a priori du caractère
optimal entraene toute une série' de conséquences relativement
contraignantes. Il faut remarquer cependant,que malgré le ca-
ractère superlatif du terme optimum,on ne définit par un état
privilégié supérieur à tous les autres, mais un ensemble d'é-
tats qui diffèrent entre euxpar la distribution de la propri-
été des biens fonciers et immobiliers, c'est-à-dire des reve-
nus y afférents.

La gestion concrète d'une économie donnée pourra cependant
poser des problèmes de distribution des revenus et d'arbitrage
entre les satisfactions individuelles,volontairement ignorées
par le modèle exposé.

Il est donc naturel de chercher distinguer parmi les divers
états optimum considérés jusqu'à présent un état jugé socia-
lement préférable, du point de vue de la collectivité. On
verra dans la suite cornent aborder ce problème.

prise compte l'as pect temporel

21 les arbitrages individuels dans le temps

21 LEb ARBITRAGES INDIVIDUELS DANS LE TEMPS

- La vie économique se déroule dans le temps et les comporte-
mente des agents économiques dans le présent sont influencés
par le souci de l'avenir. Une façon simple d'en tenir compte
est d'admettre que la satisfaction d'un individu ne dépend
pas seulement de ses consommations présentes, mais également
de l'ensemble de ses consomations futures. La satisfaction
d'un individu apparaît comme une fonction du type :

où Qt r-eprésente la consommation de l'individu à l'époque t.

Par souci de simplicité,on peut considérer que laconsommation
ne porte que sur un bien : s'il y a plusieurs biens Qt repré-
sente l'ensemble des variables caractérisant chacun d'eux.

Pendant une période, la première par exemple, l'individü dé-
termine sa consomation en rendant maximum sa satisfaction,
compte tenu du revenu ro dont il dispose et du (ou des) prix
P auxquels il peut acquérir les biens qu'il consomme. Son
1
degré de satisfaction, pour un système de prix donné, devient
une fonction du seul revenu. L'individu peut, par ailleurs,
pour chacune des autres périodes t déterminer sa consommation
en rendant maximum sa satisfaction compte tenu de son revenu
de l'époque t et du système de prix Pt en vigueur.

Avec un.tel comportement du consomateur, la fonction de sa-
tisfaction devient une fonction des revenus de chaque époque:

Mais ce comportement ne peut être que celui d'un consommateur
imprévoyant qui chaque année, peut-être par suite de l'insuf-
fisance de ses ressources, consomme la totalité de ses reve-
nus. Dans la réalité, la majorité des consommateurs préfè-e
moduler la consommation de façon plus souple, soit en épar-
gnant une part des revenus de 1 ' année pour en di£ férer la
consomation, soit au contraire en anticipant la consommation
des revenus futurs par l'emprunt. En admettant qu'il n'y ait
pas de risque d'insolvabilité,on appellera it le taux _.annuel
d'intérêt des prêts exigibles dans t années : l'individu qui
emprunte 1 F aujourd'hui devra rembourser(l+~ t =(l+ii)..(l+it))
dans t années.

Suivant la forme de la fonction de satisfaction ; l'individu
peut avoir intérêt à "transférer" à l'année t, c'est-à-dire
épargner une partie de son revenu de la première année. Il

reportera à l'année t une partie de son revenu r jusqu'à ce
que le franc marginal transféré, qui l'année 1 riduit sa sa-
tisfaction de :

lui procure l'année t un supplément de satisfaction égal :
mais ce franc épargné aura pu être prêté et il lui sera rem-
boursé à l'époque t, 1 + Kt Francs.
Il est donc susceptible, l'année t,de procurer un supplément
de satisfaction égal à :

Ainsi le niveau de l'épargne faite la premiere année détermi-
née par comparaison avec la consommation de l'année t,est tel
que :

D'une façon générale,llindividu déterminera son niveau annuel
d'épargne de telle façon que :

On notera que ces relations sont aussi celles quel'on obtient
en rendant le maximum S sous la condition :

Tout se passe comme s'il existait à travers les années une
contrainte budgétaire d'ensemble s'exerçant sur les revenus
de chaque année préalablement ramenés à leur "équivalent" de
l'année zéro par multiplication par les "facteurs d'actuali-
sation" 1

Le facteur d'actualisation P = 1
t (1 + K+) joue le rale d'un

prix : c'est le prix aujourd'hui d'un franc dans t année.

Les équations (12.1) expriment que les satisfactions margina-
les ouuLilités marginales de la monnaie sont proportionnelles
au prix. Ainsi si les taux d'intérêt sont les memes pour tous
les consommateurs, les particuliers partagent leurs revenus
entre consommation et épargne de telle manière que les utili-
tés marginales de la monnaie soient, pour chaque &poque, dans
le même rapport quel que soit l'individu :

- a s avec St -
a rt

- De ce cckportement réLsulte chaque année et pour chaque in-
dividu, une épargne ek (positive ou négative). La somme des
épargnes individuelles &finit 1 'épargne collective e k

chaque année. k

Mais à cette épargne spontanée des individus s'ajoute une
épargne forcée que la Puissance Publique juge bon de prélever
par voie fiscale soit eE. Ainsi les revenus distribués et non
dCpensés pendant l'année valent :

k
Mais il y a aussi un équilibre chaque année entre les flux de
valeurs produites et consonunées (voir 13). La part de biens

correspondant à l'épargne et qui n'est donc pas consommée par
les individus, est celle qui est "investie" : il y a donc une
correspondance directe entre l'kpargne et l'investissement.
Cette correspondance qui suppose des arbitrages entre plu-
sieurs années implique une certaine suite d'intéret il, 12.. .
it (1) afférents aux échéances successives. L'expérience
montre que lorsque les taux d'intérêts s'élèvent, l'épargne
des particuliers augmente. Pour un niveau des taux d'intérêt,
elle est déterminée, donc à l'épargne forcée près, le niveau
des investissements aussi. Nous avons vu ici, cornent l'épar-
gne pouvait naftre. Nous allons voir ci-dessous comment elle
peut être utilisée, c'est-à-dire investie.

- Mais auparavant,il convient de faire quelques remarques sur
la schématisation précédente des arbitrages intertemporels,
que font les consommateurs. L'expérience montre d'abord que
les taux d'intéret sont positifs c'est-à-dire que pour tout
le monde, au moins à la marge, 1 'utilité marginale de la mon-
naie apparaft d'autant plus faible que l'échéance est plus
1ointaine.La réserve "au moins à la marge" est importante car
la plupart des individus épargnent mais à mesure que leur
Cpargne augmente, l'utilité marginale de la monnaie dans le
présent augmente et finit par dépasser l'utilité marginale
dans le futur.

Il convient de noter, par ailleurs, que les taux d'interet en
pratique contiennent une part de couverture du risque d'in-
solvabilité ou de dépréciation de la monnaie, ce qui s'ajoute
à la valeur du taux "d'intéret pur" retenu ici. En fait, ces
circonstances variées se traduisent par des taux multiples
auxquels les individus sont soumis suivant la nature du pret
( independamment de la date de 1 'échéance 1.

Enfin,llindividu peut utiliser son épargne non pas en pretant
(ou en acquérant des titres à revenus fixes),mais en achetant
des parts de propriété sur la richesse mobilihre ou fonciere,
des actions notamment, dont le revenu qu'il en tirera conser-
ve un caractere aléatoire, mais à l'équilibre, et en probabi-
lité les deux formes d'utilisation de l'épargne devraient
etre équivalentessi bien que la schématisation par le taux it
peut conserver un sens même dans ce cas.

(1) L1hypoth&se du taux annuel constant peut être faite par souci de simplifica-
tion sans changer le contenu des raisonnements.

2 2 les comportements de l entreprise; actualisation

22.1 Comme les consonunateurs, les entrepreneurs ont à
prendre des décisions dont les effets s'&tendent sur une lon-
gue periode,contexte que ne décrit pas la schématisation pre-
sentée en 11. Soit par exemple une entreprise artisanale de
transport routier dontle camion usagé peut assurer le service
prévu pendant les prochaines annees avec des depenses annuel-
les d'entretien elevées (courbe Cl) : l'artisan se demande
s'il doit acquerir un vehicule neuf pour lequel l'échéancier
des dépenses d'acquisition et de fonctionnement est represen-

te Dar la courbe C9.
L

Il faut observer d'abord que s'il se posait la ques- 4
t ion de savoir lequel des deux mode les neufs (cour- O@P@~S@S
bes C2 et C3) il doit retenir, la solution qui se- annuellas
rait évidente : c'est C2 cas dans lequel chaque an-
nee les dépenses sont inferieures A celles de Cg. -
Mais entre Cl et C2 on ne peut choisir d'après ce
critère car C2 coOte plus cher la première année
mais est plus 6conomique ensuite. L'entrepreneur
pourrait se decider pour la formule dont la courbe
enferme Laplu$ petite surface avec l'axe des abcis-
ses, c'est-à-dire pour la formule qui conduit au
total minimum des dépenses pendant toute la duree à préciser
de 1'exploitation.Mais œ critère n'est pas tres satisfaisant,
car il revient à dire que pour ltentrepreneur,un franc dépen-
se dans IO ans a la même importance qu'un franc qui le serait

1
tout de suite, ce que contredit le comportement courant. Par
ailleurs, on ne peut pas negliger la possibilite, si reduite
soit-elle, pour l'entrepreneur de faire appel au marche des

I
capitaux : pour lui l'emprunt, s'il y a recourt, est un moyen
d'arbitrer entre plus de depenses tout de suite et moins plus
tard. Or cette équivalence entre l'année t et l'annee O est

E
le coefficient.

- 1
Pt -

(1 + i P

si i est le taux moyen d'intérêt. Pour économiser 1 F dans t
annee, on peut depenser tout de suite non pas 1 F t r i d i s

I
- 1

Pt - F
(1 + ilt I

par exemple :

1 F dans 10 ans,avec un taux i = 5 % vaut 0,614 F aujourd'hui
avec un taux i = 10 % vaut 0,386 F aujourdhui.

Avec cette convention, l'entrepreneur a la possibilité d'ex-
primer en franc de l'annee zéro (bien noter que cette expres-
sion est etrangère à toute notion de dépréciation monétaire)
la valeur du total des depenses qu'entraîne chacune des solu-
tions entre lesquelles il doit choisir.

1 est le coefficient d'actualisation pour le taux

(l+i)tl-to
i entre les années tl et to.

Par exemple, le total des valeurs actualisées à l'année O de
sommes S qui apparaissent chaque année vaut :

(somme d'une progression géométrique) soit encore :

Ce résultat est souvent utile pour préciser un ordre de gran-
deur : par exemple, un revenu annuel constant de 1.000 F est
équivalent (pour un taux d'actualisation de 5 %) à un capital
de :

b. Si l'on note t1 la valeur actualisée de S de
t O

l'année tl à l'année t -f ')le coefficient d'actualisation entre
'P to

.tl et to, on voit tout de suite que :

L'actualisation est une opération facile à pratiquer; on peut
actualiser par rapport à une année intermédiaire pour simpli-
fier les calculs puis revenir ensuite à l'année de base : soit
à calculer qu'elle est la valeur actuelle d'une propriété qui
rapportera 100.000 F par an B partir de la 5ème année (taux
d'actualisation IO %).

Valeur de la propriéte, la première année de production :

Valeur l'année O : 1 1.000.000 = = 621.000F
(1 + 0,115 1,61

La facilité avec laquelle onpeut passer de la valeur actuali-
sée à une année à la valeur actualisée à une autre année,fait
qu'on néglige souvent de préciser 1 'année d'actualisation.
Cela n'a pas d'importance aussi longtemps que l'on compare des
valeurs actualisées à la même année.

22.3 LA NOTION D'ACTUALISATION PERMET DE PRECISER, EN LE
COMPLETAN', LE SCHEMA DU COMPORTEMENT DU PRODUCTEUR
(INTRODUIT EN ll).RAPPELONS QUE LE PRODUCTEUR DETERMINE
LE NIVEAU DE SON ACTIVITE :

- En chassant d'abord tout gaspillage de son entreprise (con-
sommation minimum de chaque facteur de production, les autres

A un échéancier de dépenses annuelles (do , dl , d2 ,.
d"? il fait correspondre un nombre qui est la "valeur actualisée

à l'année O de l'échéancier des dépenses et qui vaut (1) :

L'entrepreneur a ainsi la possibilité de choisir la solution
qui correspond à la dépense totale actualisée minimum. Le mé-
canisme de 1 'actualisation permet ainsi d'ordonner compl5te-
ment l'ensemble des solutions techniques possibles. Il est
clair en effet qu'il permet de séparer des solutions comme Cl
et C2 et que pour C2 et C3, il donne le meme résultat que le
simple bon sens.

22.2 L'ACTUALISATION EST UNE OPERATION D'USAGE TRES COURANT
DANS LA PRATIQUE ECONOMIQUE. IL EST BON DE S'Y ARRETER
UN INSTANT.

a - Sa définition est simple : la valeur actualisée à
l'année to d'une somme S de l'année tl est pour un taux d'ac-
tualisation i :

(1) Il est souvent commode de considérer que la suite de dépenses do, dl,. .dn
est, en fait, une fonction d(t) qui représente le montant de d pendant l'unité
de temps à l'époque t.L'expression par une fonction continue de la loi de d.6ps.n-
se demande une adaptation des coefficients d'actualisation tels qu'ils =nt pré-
sentés ici.

l F aujourd'hui, c'est-à-diresipour moi (l+i) F Si un franc dans un an vaut -l + i
dans un an sont équivalents à 1 F aujourd'hui, je peux penser, en considérant
l'année comme 2 périodes de 6 mois que 1 F aujourd'hui font pour moi :

i 2
( 1 + 2 ) F dans un an

Si je divise l'année en p périodes : 1 F aujourd'hui vaut :
i

( 1 + - ) P ~ dans un an
P

i
soit pour p infini : (1 + - )P e i

P

De même si je poursuis le même raisonnement sur t années

La valeur actualisée à l'année to d'une fonction continue d (t) est ainsi :

e -j(t-to) d(t)

En toute rigueur, j est différent de i et est tel que : ei = 1 + i ou j=~(l+i)
Ainsi la valeur actualisée totale de O à l'infini d'une fonction constante est
l'intégrale :

étant fixés pour un niveau de production donné ;

- en choisissant la combinaison de facteurs qui minimise la
dépense de production pour un système de prix donné ;

- en fixant ensuite la production au niveau qui rend maximum
le bénéfice de 1 'entreprise.

Lorsque la production engage des dépenses qui s'étendent sur
plusieurs années,le schéma précédent se généralise facilement.
Montrons-le sur l'exemple d'une entreprise de transport rou-
tier.

Supposons d'abord qu'elle doive assurerun volume de transport
annuel de qt l'année t, c'est-à-dire qu'elle doive assurer un
"programme de production".

Il existe plusieurs manières (types de véhicules) d'assurer
cette production : chacun correspond à un échéancier de dé-
penses

do, dl . d2, ...... dt .... .d
n

que l'on représente par D (vecteur)

dont la valeur actualisée est

L'entreprise choisit la solution qui conduit à la dépense ac-
tualisée minimum pour la production à assurer. Soit fi (QI ce
minimum.

Chaque année, le transport de qt procurera des recettes rt
dont la valeur actualisée est R fonction de Q

R = R (Q)
Chaque-année aeparaTt fin bénéfice bt dont la somme actualisée
est : B (Q) = R (QI - D (Q)

L'entreprise choisit son programme de transport en rendant
maximum le bénéfice actualisé.

Ainsi, la généralisation du comportement du producteur est
toute naturelle. Lorsque la décision a des conséquences qui
s'étendent sur plusieurs années, ce qui est toujours le cas
lorsqu'il s'agit d'une décision d'investissement, la méthode
de décision est la suivante : il faut. dresser le bilan actua-
lisé de l'opération (recenser chaque année dépense et recet- -
tes), calculer le bénéfice actualisé de l'opération, retenir
la variante qui maximise le bénéfice actualisé, et y donner
suite si, et seulement, si ce maximum est positif.

Les conditions du premier ordre de ce maximum s 'écrivent de
façon symbolique :

Lorsque le bénéfice est maximum, la recette actualisée margi-
nale est égale au coût actualisé margina1,vis-CI-vis successi-
vement de chaque production annuelle .
En particulier, si les prix sont des données : on observe :

~R(Q) - Pt t = a 6 (QI
aqt

(I+i) a qt
Ainsi, en remplaçant la quantité Q du chapitre 11 par un vec-
teur Q dont les composantes décrivent le programme de produc-
tion jusqulCI un horizon N, ainsi que les dépenses et recettes
D et R, par des dépenses et recettes actualisées, les résul-
tats établis antérieurement subsistent.

23 le choix des investissements

a. Taux de rentabilité

Un investissement est un échange entre une dépense hédiate
Io et les bénéfices annuels bt qu'il procure ultérieurement.

-
Appelons B (il le bénéfice total actualisé de l'investisse-
ment :

hl

Le taux de rentabilité r de l'investissement est la valeur du
taux d'actualisation qui annule le bénéfice actualisé

B (r) = O
C'est donc la valeur du taux d'actualisation qui fait de l'in-
vestissement une opération blanche où les bénéfices en valeur
actualisée équilibrent juste les dépenses d'équipement.

Le taux de rentabilité existe toujours car pour les grandes
valeurs de i, 6 (il devient négatif ( seul le présent compte
et B (i) tend vers - Io ) alors qu'il
est certainement positif pour les fai-
bles valeurs de i (CI la limite lorsque

B i A
i tend vers -1).En pratique,toutefois,
la question de rentabilité ne se pose
pour un investissement que s'il est
susceptible de produire des bénéfices
dont la somme (non actualisée est su-
périeure ou égale B l'investissement
initial Io, si bien que l'on peut dire
que B (O) >,O et que le taux de renta- 5

bilité existe et est positif.
i

La forme de la courbe B (il montre que si un investissement
doit être fait d'après le critere du bénéfice actualis6,c'est-
CI-dire : -
- B (i) est maximum
-

- B (i) est positif

Le taux de rentabilité de l'investissement est supérieur au
taux d'actualisation.

marginale ne presente pas un grand interet. Mais la propriete
suivante lui donne toute sa valeur.

Si le bénéfice actualisé B (i) est maximum toutes les varia-
tions d B(i) sont nulles au premier ordre, donc tous les taux
de rentabilitémarginale sont égaux au taux d'actualisation et
réciproquement.

Cette propriete est en pratique très utile car elle permet de
"perfectionner" un programme. d'investissement. Souvent, en
effet, le calcul complet du benbfice actualise est fait pour
une ou plusieurs variantes retenues comme devant être parmi
les meilleures.Mais le choix fait entre ces diverses solutions,
il reste à preciser dans le detail la nature de chaque equipe-
ment. 11 est très utiie alors de chercher la rentabilite mar-
ginale correspondante eV de prendre la decision au vu de la
valeur trouvee sans refaire dans chacun des cas le calcul can-
plet.

Une application classique de la propriete précedente est &
determination de la date optimum de realisation d'un investis-
sement dont les benefices annuels vont en croissant avec le
temps (c'est le cas par exemple d'un bac ou d'un ouvrage fixe
B peage emprunte par un trafic qui se developpe).

La date optimum est celle pour laquelle l'operation qui consis-
te à ne pas reculer d'un an la construction d'un equipement
est une operation blanche : ne pas reculer d'un an à l'epoque
t c'est gagner bt,mais c'est perdre les intérêts sur l'inves-
tissement soit iI. La date optimum de construction est celle
pour laquelle : bt = iI

On appelle parfois taux de rentabilite immediate d'un inves-
tissement, le quotient bt du benefice de la première a d e

7-
par le montant de l'investissement.

C'est approximativement le taux de rentabilite marginale dela
decision qui consiste B ne pas repousser B l'année 1 l'inves-
tissement qui va &tre fait B l'annee o.

Si le taux de rentabilYt6 immediate est inferieur au taux
d'actualisation, l'investissement envisage est fait trop t8t ;
s'il est superie.ur, 1'Fnvestissement doit être fait, mais il
aurait et6 prbfbrable de le realiser plus tat.

Ces raisonnements ne valent qu'avant tout debut de realisation
des ouvrageS.Si l'investissement est fait et qu'on s'aperçoi-
ve alors qu'il a .kt& fait trop tat,ce serait une decision ab-
surde que celle d'attendre pour le mettre en service la date
qu'il aurait fallu respecter pour le construire. Il faut con-
duire le même raisonnement mais sur la base des seules depen-
ses qu'il reste à faire.

011 cherchera par exemple dans combien de temps il convient de
mettre en service un ouvrage qui coûte 100 et'rapporte 8 par
an avec une augmentation annuelle de 2% (taux d'actualisation
5 et IO %).

?2T-[Tqmuaz 81 ca92uas9xd TSUTV ' ~ ~ ~ T U T ~ U T aun U O U ~ S azquou
puox% ~ 9 x 2 un axTp-e-2sa13 c s a ~ e u ~ % x ~ u SUOTJBTIBA ap aguas9zd
2uauassT~saAuT,~ anb salsuy%xeu s9JTlyqeJuax ap J U E ~ ~ E 8 A 11

O = gP : anb la2 3sa ux aleu?%lou 92ylyqo~ual ap xne2 a?

: azTzD?,s anad 2uamasst2
-sa~uy, 1 ap alwu$iizom U O ~ ~ B T ~ E A aun, p 9s~lon2r,o ar,~g?u?q a?

-au8~l aun,p uo~3r,nz3suo3 ap a2op 81 ap no a~~aomor,
-01 ap add3 np 2uama8uaq3 al suop za3s~suor, 2nad 3uamad~nb9,l
ap alou~8zom U O T ~ B T ~ B A aun <qzza3 naasg~ un,p uo~~o8uo~ozd 81
ap ?3?l?qo2uaz 81 zaTpn29,p alduaxa zod 2~88,s T T , B : Juamas
-sT2saAuT,l ap alou~Szom uo~38yzsa aun,p ?2TlTqo2uaz ap xno2
al 2~829 aunuor, al8u~Zzom ? 2 ~ ~ ~ q o 3 u a z p xno2 al ~ T U T J ? ~ uo

'Id0 e TE%? alq~ssod mnmTxom np naTl no zdO Q 1889 ?sTlon2
-38 a3~3?u?q unlnb 3yozaz~3az au uo 3a (THO > ZnO) 3uamadTnb
-?,l 2~8zauuoysuam~p-snos uo ap naTl no 2~oua~az uo TS
*mnmyxm 3sa ?3~l~qo3uaz ap xno3 al anb az2uo3 zod 3u~od
no 2sa,3 2u~od al 2nd ?~uas?zdaz 3uamassT2saauTIl z~s~oqr,
Q 3TnPuo3 (UnmTXom (y) g ) ?s~lwn338 ar,y39u9q np azq3~z3 a? -

'NO a3yozp 81 ap wuad 81 2sa 9311
-Tqo2uaz ap xno3 a? .do ~uauisas al zod
g~uas9zdaz 3sa <anbTqdoz% al zns

1 - - =
(1) 9

(y) g

: 3noA 3uamassT3saAuT1l ap
9sylon338 ar,~39u?q a? '(1) q aqxno3
ET az2uom 3uyo[-~3 anb~qdoz8 a? .lsy3
-TUT 3uamass~2saAuy,l ap 1 JuoJuom np
a~uose~oz3 uo~3r,uo3 aun 370s q lanuuo
aq~pu9q al 2uop 3uamass.~isa~u~ n
suou~8om~ : 3uaAyns anbT3sm?q3s ald
-maxa,l zns aadmor, azpuaz ua,s 3nad uo

'a~q~ssod ~3zod al Jno3 zazT3 ua suos a3Ts un
zasT-[TIin e a2s~suo3 ynb ,,sa3ys sap a8ouipz3glI , p anbT2~lod aun
2~ozpuodsazzo3 ~ n b s2uamad~nb9 sap ~uamauuo~suam~p-snos un

zanby~azd q ~~oz~npuor, apn2T22w amqTxnap. a22a3 -?2TlTqw2uaz
ap xno2 al 2yozas~w~xom ~ n b alla3 sed uou 2a ?s~lsn338 a q $
-9ugq al,as~m~xom ~ n b alla3 2sa ~ u a m a s s ~ ~ s a n u ~ u lnod qua2
-az Q a~uoyzo~ el anb 'alduaxa zod 'za30u ap 2uo3lodm~ 2sa 11

SuoT 38l?d0
sazJna,p znod xasTl~Jn,l sed au ap ~uay~uor, TT BTW msnssap
- ~ r , 3 ~ p s~39zd suas al e 11 -2uauassyJsaAuT un,p 3jjz93uT1l
zay3?zddo znod aly3n zna383ypuy un 3sa 93yl~qo~uaz ap mi82 a?

- x ar,~zauaq aT puaz ynb a2uoTxeA BT ans auuos~oz UO,T anb

24 I'equilibre de l'offre et de la demande

On avu que l'épargne spontanée de l'ensemble des particuliers
dépendait du taux d'intérêt offert aux épargnants et tendait
a augmenter avec le taux dlintér@t,au moins dans la plage des
valeurs courantes.

Du caté des entrepreneurs, au contraire,si le taux d'actuali-
sation s'élève par suite de la décroissance en fonction de i
des bénéfices actualis~s,le nombre d'investissementsrentables
diminue, donc le volume total de la demande de capitaux à in-
vestir.

Il y a la les éléments d'un mécanisme d'ajustement par le jeu
de l'offre et de la demande de capitaux.

Réserves faites de la diversité des primes de risque afféren-
tes aux opérations en cause, un tel mécanisme devrait condui-
re à l'unicité du taux de llintér@t pur dans toute l'économie
(ceci bien sQr pour chaque échéance ; l'hypothese d'unicité
quelle que soit l'échéance est une hypothèse simplificatrice,
que 1 'expérience justifie dans les économies en développement
suffisamment régulier, mais qui n'est nullement nécessaire à
la théorie).

L'unicité du taux de l'intérêt est, en effet, une condition
nécessaire de l'optimum tel qu'il a été ddfini au 8 13 et tel
qu'il peut être généralisé après que le temps ait été pris en
compte comme le suggère ce chapitre.0n peut établiryen effet,
que :

- l'optimum de distribution dans le temps exige l'unicité du
taux d'intérêt, chaque année, pour tous les particuliers
(ainsi,bien sQr,que l'unicité des prix) : ainsi, les utili-
tés marginales de la monnaie sont, 3 chaque échéance, les
mêmes pour tous.

- l'optimum de production exige, outre les conditions habi-
tuelles sur les prix et les coQts marginaux, que les fac-
teurs d'actualisation soient chaque année, les memes pour
toutes les entreprises, donc que la rentabilité marginale
du capital soit la même chaque année dans toutes les entre-
prises.

- 1 'opt imum d'ensemble requiert, chaque annge, 1 'égalité des
taux dlintér@ts (purs) qui regnent respectivement dans le
secteur productif et dans le secteur des particuliers, pa-
rallelement à l'égalité des prix dans les deux secteurs.

Mais la pratique dans la plupart des pays est souvent fort
éloignée de ces condit ions.

De mgme que la Puissance Publique s'autorise 3 intervenir
pour "fausser" les choix des particuliers (par exemple pour
réduire l'usage de l'alcool ou des stup&fiants), de même elle
s'autorise de plus en plus à modifier l'équilibre épargne
consommation qui résulterait du comportement spontané des
particuliers. C'est finalement l'épargne globale, spontanée
et forcée, que la Puissance Publique s'efforce de maintenir 3
une certaine proportion de la consommation : cette volonté et

ces choix s'expriment notamment lors de l'élaboration des
Plans de développement de la nation.

Nais la Puissance Publique intervient aussi pour favoriser
certains investissements, en consentant des taux d'intérêt dt
faveur. Là,cleçt l'optimum de production lui-même qui se trou-
ve affecté. Parfois, le taux de faveur en cause a précisément
pour objet de corriger une lacune du système de prix corne ce-
la arrive pour les infrastructures de transports où pour di-
verses raisons la tarification de leur usage est bloquée. On
sent combien il est hasardeux de s'éloigner des conditions de
l'optimum, car il faut alors envisager une chaTne de mesures
d'exception pour essayer de maintenir la vie économique dans
la bonne voie. Mieux vaut, chaque fois que cela est possible,
revenir à plus de vérité dans les prix.

Par ailleurs, même dans les économies développées, l'existence
d'un marché financier qui accepterait librement tous les arbi-
trages dans le temps au taux i est très sujette à caution. Les
entreprises refusent de s'endetter au-delà d'un certain mon-
tant,afin de limiter le montant des charges d9ntérêts qu'elles
doivent obligatoirement verser chaque année que l'exercice ait
été bon ou mauvais. Mais elles ne veulent pas non plus procé-
der à des augmentations de capital trop fréquentes suscepti-
bles d'attirer de nouveaux actionnaires qui remettraient en
Lause le contrale de l'affaire. Et elles se gardent de distri-
buer,donc, de remettre sur le marché, la totalité des bénéfi-
ces (nets) de l'exercice, réalisant ainsi une sorte d'épargne
forcée en provenance des actionnaires afin de contribuer au
financement des investissements l'année suivante. Les distor-
sions induites par la fiscalité ne sont d'ailleurs pas étran-
geres A cet état de choses.

C'est dire que l'unicité du taux d'intérêt pur n'est certaine-
ment pas assurée de façon précise dans l'ensemble de l'écono-
mie, ni même dans le seul secteur productif.

Devant l'insuffisance de mécanismes d'ajustement aussi Eragi-
les, la Puissance Publique est naturellement amenée A inteme-
nir tout particulierement sur ce qu'on continue d'appeler, un
peu symboliquement, le "marché du capital".

Cette action s'exerce spécialement au niveau des Administra-
tions et des entreprises nationales ainsi que des grandes en-
treprises privées qui sont amenées à solliciter une aide de
1'Etat pour leur financement.

Lorsque nulle autre considération n'intervient que le souci de
restaurer l'unicité optimale du taux d'intérêt pur, l'orien-
tation des choix économiques des investisseurs en cause est
assurée en édictant un taux d'actualisation qui fixe le seuil
de rentabilité au-dessous duquel la Puissance Publique consi-
dere une opération d'investissement comme non rentable : une
fois déduits de l'épargne que contrale llEtat, les investisse-
ments prioritaires (enseignements, hapitaux) ... l'équilibre de
l'épargne restante et des autres besoins de capitaux (parmi
lesquels figure l'essentiel du secteur transport) requiert la
fixation d'un taux~d'actualisation d'autant plus élevé que les
besoins en investissements sont grands et l'épargne réduite.
Des considérations de cet ordre ont conduit A fixer le taux

d'actualisation il 7 % pour le 4ème Plan français et pour le
5ème, à une valeur plus élevée, ce qui n'empêche pas les Pou-
voirs Publics de continuer, par ailleurs,a accorder des prêts
il 5 ou 5,5 % par an et même parfois à des taux plus réduits.

Cette façon d'agir ne rend pas les investisseurs qui bénefi-
cient de prêts à taux reduits, réellement sensibles à 'la ra-
reté des capitaux long terme,et peut les inciter à suresti-
mer la rentabilité d'un investissement pour en obtenir le
financement : si les recettes brutes ne sont pas aussi impor-
tantes qulannoncées,le béné£.ice restera positif car les char-
ges financières seront plus faibles dans la réalité que dans
le bilan actualisé, par suite du taux reduit des prêts. Le
"coup de pouce" dans le dossier de présentation restera ainsi
sans sanction !

111 . rôle

31 les fonctions 6conomiques de rEtat

31.1 GENERALITES

Les développements précédents ont fourni une schématisation
des comportements individuels des divers agents d'une économie:
consommateurs et entreprises. On a supposé jusqu'ici que tout
le fonctionnement d.e l'économie reposait sur des décisions in-
dividuelles et on a vu comment ces décisions aboutissaient à
une situation d'équilibre ; parallèlement,un concept d'optimum
a été défini.

Cependant, outre les décisions individuelles,le fonctionnement
de toute économie est soumis également B des décisions d'ordre
collectif, passées jusqu'ici sous silence par souci de simpli-
cité. L'existence et l'intervention dans le domaine économique
des collectivités publiques (éfats,départements,municipalités)
jouent cependant un rale essentiel dans la plupart des écono-
mies modernes, quelles que soient d'ailleurs les grandes op-
tions d'ordre idéologique, B la base du systeme d'organisation
de la société.

Nous allons maintenant essayer de définir la nature des diver-
ses interventions économiques de ces collectivités,etde préci-
ser les modalités de leur action, en insérant celles-ci dans
le modele général présenté antérieurement. Dans tous ce qui
suit les termes "état" ou "collectivité" utilisés dans la
schématisation proposée représenteront de façon générale une
collectivité publique quelconque.

Les décisions d'ordre collectif répondent à plusieurs nécessi-
tés :

- Tout d'abord certains arbitrages entre les individus sont
nécessaires, par exemple,dans la recherche du fonctionnement
optimum de l'économie, pour comparer des situations toutes
deux optimales, au sens défini plus haut, mais qui diffèrent
entre elles par la répartition des revenus entre les divers
individus (problème de la politique des revenus). Il peut
être nécessaire également d'effectuer des comparaisons entre
deux situations en dehors de l'optimum.

- D'autre part, certains besoins ne peuvent être aisément sa-
tisfaits par le jeu des initiatives individuelles et le sont
plus commodément par desservices publics,notion que l'on va
approfondir dans les pages suivantes.

- Enfin, 1'Etat peut jouer également un raie dans l'organi-
sation des marchés et la recherche des grands équilibres
fondamentaux : plein emploi, stabilité monétaire, équilibre
de la balance des comptes extérieurs, problemes que l'on
n'abordera pas dans le présent manuel, mais qu'il convient
cependant de garder présents à l'esprit.

31.2 - NOTION D'UTILITE COLLECTIVE

Si l'on se reporte au diagramme des possibilités dans l'espace
des satisfactions individuelles, on a déjà vu, que dans un
état donné de la technique et des dispositions psychologiques
individuelles et pour des richesses naturelles données, il
existe une surface limite des possibilités séparant le domaine
du possible de celuide l'impossible.
Pour l'exposé, on supposera l'écono-
mie réduite à deux individus et on il-
lustrera le raisonnement sur un dia-
gramme à deux dimensions.

La théorie de l'optinnim,développée.pré-
~edemment~fournit les conditions que
doit remplir le fonctionnement* l'éco-
nomie pour que 1 'on soit sur la courbe
limite L. -0 s1

Le concept d'optimum élaboré repose sur un critere de compa-
raison des situations les unes par. rapport aux autres, dont
malheureusement le caractère indiscutable trouve sa contre-
partie dans une impuissance partielle à comparer certaines
situations :

. par rapport à une situation M, toutes les situations
représentées par les points situés dans le premier quadrant
de M sont jugées meilleures, toutes celles situées dans le
troisieme quadrant sont jugées moins bonnes ; par contre, on
ne peut exprimer de préférence entre M et l'un des points du
2" ou du 4" quadrant.

Si l'on tient à effectuer des comparaisons, on doit dire dans
quelles mesures on estime que la diminution de satisfaction de
Pierre est "compensée" par l'accroissemen~ de satisfaction de
Paul, c'est-à-dire que l'on ne peut échapper à une comparaison
des satisfactions des divers individus de la collectivité.

Ce type de comparaison et de choix doit être effectué par le
pouvoir politique. Il n'entre pas ici dans notre propos de
décrire les modalités par lesquelles vont s'effectuer ces
choix ; mais si l'on soumet ces choix à des conditions de
cohérence et de transivité, on montre que le pouvoir politique
devrait arriver à la définition d'un indicateur global

fonction des satisfactions individuelles que l'on appellera
dans la suite fonction d'utilité collective qui, par rapport
aux satisfactions individuelles joue un r61e tout à fait ,
semblable à celui de la fonction de satisfaction d'un individu
par rapport à ses consommations.

Il faut remarquer que la forme analyti-
que de la fonction d'utilité collective
U (SI . . . . . S S ..... 1, dépend de

n
l'expression des satisfactions indivi-
duelles (qui peuvent être, comme nous
l'avons vu, définies avec un certain

"1 degré d'arbitraire).
C

s1
Cette fonction permet ainsi, entre deux ensembles quelconques
de surfaces d'indifférence, d'indiquer celui qui est préféré ,
à moins qu'ils ne soient jugés équivalents. Dans un espace à
n dimensions, les points représentatifs d'états jugés équiva-
lents se rassemblent sur des surfaces à n-1 dimensions.

C'est ainsi que l'on pourra choisir entre deux situations
"optimales" (au sens du chapitre 1) M et M soit préférer

1 2 '
un état P "non optimal" à un état M "optimal", soit encore

2 1
effectuer toute comparaison entre deux-états quelconques P

1
et P2.

On peut même ainsi, sur le plan théorique, déterminer le point
M;! "optimum optimorum" du fonctionnement de l'économie, sur la
surface limite des possibilités.

La définition de la fonction d'utilité collective fournit donc
le moyen théorique d'évaluer l'intérêt d'une transformation
quelconque de l'économie, que l'on soit ou non 3 l'optimum,
On verra au point 32 comment se présentent les prob1èmesd"u-
tilisation de cet instrument, sur un plan plus opérationnel.

31.3 - BESOINS COLLECTIFS ET SERVICES PUBLICS

Les biens ou services dont la production et la consommation
ont été analysés précedemment sont individualisables et leur
consommation est mesurable ; leur utilisation par un agent
économique exclut leur utilisation par un autre agent ; nous
dirons que ces biens satisfont des besoins privés.

A coté de ces besoins privés existent des besoins de caractère
collectif, dont on peut d'ailleurs distinguer diverses sortes:

- les biens collectifs par excellence, sont ceux pour lesquels
le niveau de mise à disposition est de caractère collectif,
la consommation individuelle de ces biens étant dépourvue de
sens : il en est ainsi par exemple du Service de la Défense
Nationale ou d'un Service de lutte contre la pollution atmos-
phérique. Il faut noter que si, pour ces biens, la notion
de consommation individuelle n'a pas de sens, par contre,
leur niveau peut in£ luencer les fonctions d'utilité indivi-

duelle ou les fonctions de production.

- pour d'autres biens collectifs, comme 1'Education Nationale
ou les dépenses de santé, bien que les prestations aient un
caractère individualisable, la collectivité peut estimer
qu'il convient. de ne pas laisser les décisions s'établir par
le jeu du marché et des contraintes budgétaire individuelles:
elle peut alors soit imposer un niveau minimum de consomma-
tion, soit se contenter d'introduire intentionnellement des
"distortions" dans les choix individuels, par un abaissement
du prix.

- pour d'autres biens, l'importance exceptionnelle du coOt de
perception peut conduire h préférer soit la mise à disposi-
tion gratuite, soit la mise en oeuvre de redevances à carac-
tère fiscal, plus ou moins,liées au niveau de consommation :
exploitation des routes, services de la poste, enlèvement
des ordures ménagères. La structure de ces redevances peut
être très différente de la structure des coQts de production
du service en cause.

Pour d'autres biens ou services, enfin, c'est le fait qu'ils
soient "h coQt marginal "nul" comme la radiodiffusion et la
télévision qui peut militer (d'un point de vue strictement
économique) en faveur d'une prise en charge par 1'Etat.

On rejoi~t ainsi le domaine des interventions de 1'Etat dans
les activités du secteur non différencié, destinées à assurer
une gestion de ce secteur conforme aux critères de l'optimum,
notamment dans le domaine tarifaire avec les conséquences fi-
nancières que ces interventions impliquent : financement du
déficit des entreprises à rendement croissant ou, inversement,
récupération des rentes résultant de la vente au coQt marginal
dans les secteurs à rendement décroissant ; on peut d'ailleurs
regretter que,jusqulà présent, les interventions de ce dernier
type sont très limitées, du fait de la puissance des intérêts
privés en cause, et aussi parce que l'opinion publique admet
difficilement que 1'Etat puisse faire des "bénéfices" sur la
gestion d'un secteur,ne réalisant pas clairement que cet excé-
dent se traduit, toutes choses égales d'ailleurs, par un alle-
gement fiscal.

On désignera toutes ces taches de 1'Etat sous le vocable :
Gestion des Services Publics.

Cette gestion comporte les aspects suivants :

- détermination de la consistance et du niveau des services
- minimisation du coQt de production de ces services
- mise en place des structures et des niveaux tarifaires le
cas échéant

- détermination des dépenses nettes du fonctionnement de ces
services, c'est-à-dire de leur incidence sur le budget géné-
ral de 1'Et'at

On distinguera finalement 3 grandes catégories de services
publics :

- les services publics d'entreprises correspondant aux entre-

prises du secteur non differencie prises en charges par
llEtat,

- les services publics collectifs necessairement finances par
des impbts de caractere general,

- les services publics individuels, assortis ou non de rede-
vances d 'usage.

31.4 - LES AUTRES FONCTIONS DE L'ETAT
A c6t6 des grandes fonctions de llEtat que nous venons d'ana-
lyser :

- choix globaux et arbitrages entre individus (c'est-&-dire,
de façon plus precise, entre groupes sociaux)

- gestion des services publics,
On peut encore distinguer deux grandes categories d'interven-
tions :

- l'action reglementaire dans le domaine economique et extra-
economique

- la realisation des equilibres globaux, et, en particulier,.
la politique monetaire.

31.41 - L'action reglementaire
Dans le domaine economique, cette action vise par exemple B
corriger les imperfections du marche, B l'organisation de la
concurrence, en particulier d ~ p o i n t de vue de l'information
dee agents interesses et de la transparence.

Elle touche egalement des activites où les phenomenes d'eco-
nomies externes, c'est-&-dire d'incidence sur les autres pro-
ducteurs ou consommateurs sont particulierement marques : par
exemple, regles d'implantation des usines dans l'optique de
lutte contre la pollution atmospherique, limitation de vitesse
sur les routes, rCglements d'urbanisme destines & assurer une
certaine coherence entre les implantations d'habitats, d'ac-
tivites et les possibilites de reseaux de transports, etc.....

De meme, dans le domaine extraeconomique, les interventions
eont nombreuses ; elles ont d'ailleurs en general des inci-
dences economiques : ainsi la legislation sur le divorce en-
tratnera une demande plus ou moins grande de services juridi-
ques, la prohibition de la vente de l'alcool entratnera des
besoins en personnel de contrble,....

31.42 - Les politiques globales
On citera ici pour memoire : la recherche du plein emploi de
la main-d'oeuvre, de la stabilite monetaire, objectifs inter-
médiaires dans la recherche de l'optimum collectif. Les moyen8
d'atteindre ces objectifs resident surtout dans la politique
monetaire et la politique fiscale, de façon B toucher, egale-
ment au moyen d'instruments globaux, l'ensemble des activites
y compris les services publics.

On peut remarquer que l'action spécifique surcertains.services
publics pour réaliser ces objectifs globauxest peu souhaitable.

Ainsi pour relancer l'économie, il est préférable d'agir sur
l'investissement global, public et privé de façon directe,
plut8t que d'intervenir directement et de façon sélective sur
le niveau des crédits d'équipements routiers, remarque qui
vaut également dans la conjoncture opposée.

Nous n'en dirons pas plus, l'exposé des questions monétaires
'en particulier sortant du cadre de ce manuel.

32 la comparaison des Situations Economiques

i2.1 - UTILITE COLLECTIVE ET REPARTITION DES REVENUS
'Jne modification marginale quelconque de l'économie, c'est-8-
dire modification des flux de biens produits ou consommés,

' compatible avec les contraintes techniques, entratne des
variation? de niveaux de satisfaction individuelle

Sk'
La

. variation d'utilité collective qui en résulte s'écrit :

a u (en posant -=
uk) as.

Si l'on admet les hypotheses suivantes :

- chaque individu maximise sa satisfaction compte tenu de son
revenu rk et d'un systeme de prix identique pour tous.

- si, par ailleurs, le niveau de la consomation d'un indivi-
du pris isolément est sans influence sur le prix,pour chacun
des .biens,

les variations de satisfaction individuelles s'écrivent :

1
ou * est l'utilité marginale de la monnaie pour l'individu

On peut alors écrire :

k
La signification économique des produits Uk A est fort sim-
ple :

- U représente l'accroissement d'utilité collective entra$-
née Dar l'accroissement d'une unité de la satisfaction
de liindividu k,

(1) Ces considérations ont été introduites pour la premiere fois par M. Lesourne
dans son ouvrage "le calcul économique"

- Ak représente l'accroissement de satisfaction de l'individu
k lorsque son revenu augmente d'une unité.

k - U A représente donc l'accroissement d'utilité collective
entratné par l'augmentation d'une unité du revenu de
l'individu k,

k
L'hypothèse d'égalité des produits U k A pour tous les indi-

vidus signifie donc que la collectivité est indifferente à
tout transfert marginal de revenu entre individus., c'est-h-
dire qu'elle considere la distribution des revenus comme
optimale. Dans cette hypothese on peut d'ailleurs, en raison
du fait que la fonction U est définie à une fonction monotone
pres, prendre égale h 1 cette valeur commune.

La variation d'utilité collective prend alors une forme parti-
culierement simple

soit encore : du = z Pi dqi
i

Sous les hypotheses précédentes, complétées par llhypoth&se
d'optimalité de la distribution de revenus, la variation
d'utilité collective dans une transformation marginale est
égale B la variation de valeur, h prix constants, de la con-
sommation finale.

Si, par contre, on estime qEe la distribution des revenus
n'est pas optimale, la variation d'utilité collective s'écrit

On voit ainsi clairement que pour évaluer l'intéret d'une
transformation on sera obligé d'expliciter les valeurs des

produits Uk A par groupes sociaux par exemple(1a fonction U

étant normalisée par la condition

la variation d'utilité collective est alors égale à La varia-
tion de valeur (à prix constant) de la consommation totale,
complémentée par un terme correctif faisant intervenir une
somme de variations de revenus individuels pondérées par des
coefficients marginaux (positifs ou négatifs) relatifs aux
divers groupes sociaux intéressés.

Il est inutile de souligner longuement qu'en pratique la dé-
termination des coefficients en question dusciterait des dis-
cussions passionnées.

L'intérêt des raisonnements précédents réside dans le fait que
l'hypothese de l'optimalité de la distribution des revenus
permet d'aboutir à une expression de la variation -d'utilité
collective utilisable sur le plan opérationnel.

32.2- EXPRESSION DE LA VARIATION D'UTILITE COLLECTIVE EN FONC-
TION DES BENEFICES DES ENTREPRISES

L'expression à laquelle on vient d'aboutir pour la variation
d'utilité collective est parfois délicate à manier du fait que
les répercussions sur la consommation finale d'une transforma-
tion marginale donnée peuvent résulter d'un processus trgs
détourné et difficile à analyser. On va ainsi rechercher une
autre expression de cette variation plus facilement utilisable.

On traitera successivement le cas où il y a plein emploi des
ressources et celui, important dans le cas des pays en voie
de développement où il y a initialement sous-emploi des res-
sources, sous-emploi diminué par la transformation étudiée.

32.21 - Cas d'une économie de plein emploi
Si la transformation envisagée maintient le plein emploi comme
on a avant et après transformation

on a, par voie de conséquence

et donc

h 6b étant la variation du revenu de l'entreprise h 21 prix
constants (ces prix étant d'ailleurs les prtx 21 la consom-
mation, lorsque, en dehors de l'optimum ces prix diffgrent
des prix à la production).

Ainsi, si le plein emploi des ressources n'est pas affecté par
la transformation considérée, la variation d'utilité collecti-
ve est égale à la somme des variations à prix constants des
bénéfices des entreprises, calculés en utilisant le systgme
de prix à la consommation.

On peut remarquer que pour les biens purement intermédiaires
pour lesquels il n'y a pas de prix 2 la conso~tion le prix
est indifférent (puisque de tels biens f d qi = pourvu

qu'il soit le même pour toutes les entreprises : on peut pour
simplifier, prendre un prix nul.

Pour toutes les entreprises qui maximisent leurs bénéfices 2I
prix constants, pour autant que ces prix soient les prix à la
consommation, toute modification compatible avec la contrainte
de production est telle que

Si en particulier, il en est ainsi pour toutes les entreprises
on a

d U = o

on retrouve ainsi Les conditions de L'optimum de gestion :
unicité des prix et maximation 8 prix constants dans le sec-
teur productif.

Si, par contre, il existe par exemple une entreprise non opti-
male produisant un seul bien h (cas d'un monopole), on peut
écrire :

abh = (ph - C 1 dqh
h

P étant le prix de vente initial
h
d qh la variation de la quantitd de bien mise sur le marché

ch le coOt marginal de production de l'entreprise qui est
supposée minimiser son coQt global B prix constant

on aura donc : du = (ph - ch) d qh
Si donc le prix de vente est supérieur au coOt marginal de
production, un accroissernent de production est bénéf ique pour
la collectivité même si pour l'entreprise considérée, il se
traduit par une diminution de revenu total (cas oh la recette
marginale est inférieure au coQt marginal).

32.22 - Cas d'une économie avec sous-emploi de ressour-
ces -

On traitera Le cas où la transformation permet de modifier le
niveau d 'emploi des ressources disponibles.

Distinguons entre les biens qui ne sont pas des richesses
naturelles (indice i) et ceux qui le sont (indice j).

O O aqj représentant la part de ressources naturelles q en bien
j

j qui n'est pas utilisée (on peut remarquer que q ou i j
peut être nul).

On a donc : h
dqi = z dqi

h

ainsi

= z abh - z pj q0j do
h j

Ainsi la variation d'utilité collective dans une transform
tion marginale modifiant le niveau d'emploi des ressource
est égale a la somme des variations de revenus des entrepris
et du supplément de valeur des ressources naturelles utilisé

ivaluées B prix constants avec le système de prix à la consom-
riation.

:ette remarque prend toute sa portée pour l'analyse des pro-
llèmes de transport dans le pays en voie de développement,où,
)ien souvent la création de nouvelles infrastructures de
:ransport ,permet de lutter contre un chomage complet ou par-
:iel d'une partie de la population, la mise en valeur de péri-
netres agricoles ou de gisements miniers. Il faut tenir compte
i l'actif du bilan de telles transformations, des salaires
iupplémentaires qui peuvent être ai.nsi distribués ou des
lentes foncières qui seront mobilisées.

32.23 - Prise en considération du commerce extérieur
:eus les raisonnements qui précèdent ont été développés dans
ine économie fermée. On peut montrer facilement que si l'éco-
iomie donne lieu à des échanges avec l'extérieur, il faut
ijouter aux termes que nous avons analysés jusqu'à présent,
La variation de valeur prix constant des importations nettes
:oujours estimées avec le prix A la consommation ; si dans la
:ransformation la balance commerciale reste équilibrée, le
:erme correspondant est nul.

33 Formalisation des activités spécifiques de l'état

ln va maintenant introduire dans le modèle global repr'édenta-
:if de l'économie, les activités spécifiques de 1'Etat et
roir successivement connnent se pose, dans des schémas simpli-
Eiés, 19 problème de 1 'équilibre et celui de 1 'optimum avec
L'Etat.

3.1 - LE PROBLEME DE L'EQUILIBRE
n analysera successivement comment le problème de l'équilibre
3t modifié :

d'une part par l'introduction des transferts individuels

d'autre part par la prise en compte des services publics.

33.11 - Prise en compte des transferts
examine tout d'abord le cas où 1'Etat organise des trans-
tts entre individus, liés à des caractères extraéconomiques
3 individus considérés ; il s'agit par exemple des cotisa-
Ins pour la retraite et des retraites versées dans un régime
répartition générale, des cotisations de sécurité sociale
des remboursements de frais de maladie et des allocations
iliales.0n considèrera ici que ces transferts (prélèvements
sllocat ions) touchent directement les revenus individuels,
gui peut, malgré certaines apparences, être conforme à la
lit6 : ainsi, par exemple, en ce qui concerne les cotisa-
is de Sécurité Sociale en France, ce. sont les entreprises
versent un certain pourcentage des salaires versés dans la
te d'un certain plafond : abstraction faite du phénomgne
roportionnalit6,on peut considérer que les sommes en ques-

tion font parties des revenus des salariés et sont prblevées
par l'intermédiaire de l'employeur. Si par exemple le plafond
jouait systématiquement dans tous les cas, l'hypothèse du ca-
ractère forfaitaire de telles perceptions serait pleinement
valable.

Dbsignons par v
k
et ak les sommes respectives des prélèvements

et des allocations intbressant le consommateur k.

Si la sowe globale des prblèvements équilibre la somme des
allocations, on aura :

Les relations d'bquilibre en valeur ne sont pas modifibes,

seul chacun des revenus r
k
devient

k k r k + a - v

L'bquation globale

est conservBe.

Cependant
k 1 ak - v peut etre positive, sa valeur positive

k
btant Bquilibrbe par des ressources fiscales de 1'Etat.

On peut par exemple traiter le cas où 1'Etat prblève une part
des revenus des entreprises (bk) et des revenus fonciers (2;)
pour financer le solde positif des transferts, ou encore celui
où un impôt sur la consommation finale bquilibre le solde po-
sitif des transferts. Ces schbmas s'btablissent sans diffi-
cultbs.

33.12 - Prise en compte des serviees publics
Mis B part les services publics d1ent,reprises qui ne présen-
tent pas de difficultbs particulières btant entigrement assi-
milables B des activitbs de production privbes au point de vue
des regles de gestion, la diffbrence btant que les revenus de
ces activitbs vont B llEtat, deux sortes de services publics
peuvent être considbrbs :

- les services publics individuels
- les services publics collectifs
On se contentera dans ce qui suit &'introduire les services
publics collectifs. On supposera qu'il existe u services pu-

blics repérés par un indice R (1 à u) dont le niveau est sR

Ces services publics ont une fonction de production

On fera des hypothèses suivantes sur le fonctionnement en in-
diquant comment il est possible d'obtenir le niveau sR à par-
tir des consommations q& des facteurs de production i.

1

On suppose, pour simplifier, que la fonction de production des
services publics SE n'est pas influencée par le niveau des
autres services publics.

Par ailleurs, chaque service public influence la fonction de
satisfaction des individus et la fonction de production des

On fera les hypotheses suivantes sur le fonctionnement de
l'économie :

11 Chaque consommateur maximise sa sat isfaction compte tenu
des prix A la consommation,des niveaux des services publics
et de son revenu.

2 1 Chaque entrepreneur maximise son revenu A prix constant.
compte tenu de ses contraintes de productionet de la façon
dont celles-ci sont influencées par les services publics.

Les Services publics, dont le niveau est fixé par llEtat, sont
produits au coQt minimum, ce qui entraine les relations

cg FR

R
qui jointes à la relation f = O fournissent

Les dépenses de 1'~tat pour les services publics sont alors :

C C q"
R i p i i R (qi est négatif)

Les prix A la consonmiation se déduisent des prix A la produc-
tion par l'application d'un impôt indirect de taux uniforme t
qui revient A llEtat, c"est-A-dire que si

pi est le prix à la production

pi(] + t) est le prix à la consommation

les recettes fiscales de 1'Etat sur le bien i sont

L'équilibre du budget de 1'Etat s'écrit alors

Par ailleurs, l'équation d'équilibre des flux physiques du bien
i s'écrit :

h R = z qi + C qi + q f
k h R

Le modèle général a donc n + 1 6quations
n équations relatives aux flux physiques
a équations du budget de 1'Etat

Les inconnues sont les prix pi, le taux d'impôt t, les revenus
a rk et le niveau des services publics s .

On voit donc que si le niveau des services publics est fixé
par llEtat, et si l'on ne donne pas la distribution des reve-
nus, les prix pi sont déterminés B un facteur pres et le taux
t est détermin6.

Si l'on multiplie chaque équation de flux physiques par p et
que l'on additionne membre B membre, on trouve : i

et en ajoutant membre B membre l'équation du budget de 1'Etat
il vient

soit encore : E r k = Z bh+ $ zi
k h 1

Les revenus individuels, autres que salariaux, sont toujours
égaux,& la somne des revenus fonciers et des revenus mobiliers
(évalu6s bien entendu avec le système de prix B la production)

Le lecteur pourra d'ailleurs vérif ier que 1' imp8t indirect
introduit est d'effet exactement équivalent B un impôt propor-
tionnel sur les revenus individuels extra-salariaux, dont le
taux, identique pour tous, serait de - l+t cet imp8t étant lui-
même d'effet Bquivalent A un imp8t de taux identique frappant
les revenus des entreprises et les revenus fonciers.

33.2 - L'OPTIMUM DE GESTION
La théorie de l'optimum développée au chapitre 1 n'est pas
affectée par les problemes de transferts, tout au moins lors-
que la somne algébrique de ceux-ci est nulle, le bien fonde de
ces transferts ne peut être apprécié qu'a 1'aided'une.fonction
d1utilit6 collective.

Par contre, l'introduction des Services Publics pose des pro-
blhmes d'un ordre différent.

On supposera qu'il existe

- n biens repCr6s par l'indice i
- m individus reperes par l'indice k
- p entreprises reperees par l'indice h
- u services publics collectifs repérés par l'indice L de

niveau SE

Chaque individu est caractérisé par une fonction de satisfac-
t ion

k k l l s (cli, s 1

Chaque entreprise possède une fonction de production

h h l l 11
f (qi, s ) = O (où interviennent tous les s )

Chaque service public collectif possède une fonction de pro- 1
duc t ion

R i L
f (qi' S = 0 (3,2)

R
(où interviennent une seule variable s )

L'équilibre des flux s'écrira, pour le bien i

L16quilibre des flux s'&rira, pour le bien i

On supposera par ailleurs qu'il existe u.ne fonction d'utilite
collective

u (sk)
k h

Il s'agit de trouver les valeurs des variables qi, qi, qq et
sll qui rendent U maximum sous les contraintes (3,l) (3,2)et
(3,3)

On sera donc amené à maximiser les fonctions de Laeranee.

Les conditions du premier ordre s'écrivent :

uk S: - pi O o (i = I.......... n)
(k = 1 .......... m)

. (i = l......... n)
.......... ( a = 1 U)

....... F ut Si + .h fi + f; = O (L = I... u)

Les trois premières séries de relations n'offrent pas de dif-
ficultés d'interprétation. Quant aux dernieres relations elles
expriment des conditions d'optimalité du niveau des services
publics : le coOt marginal de production du service public I

II 11 soit cp fII doit être égal à sa valeur marginale pour la

collectivité elle-même égale à la somme de deux termes :

Uk S: Valeur marginale pour les indi-
vidus

h
II "f "aieeu marginale pour les entre-

prises

Ainsi l'introduction des services publics vis-8-vis du concept
d'optimum laisse subsister la condition d'unicitd des prix
dans le secteur production et dans le secteur consomation et
implique la proportionnalité de ces deux systemes de prix.

Dans ces conditions, l'impôt uniforme sur la consomation fi-
nale utilisée dans le modele d'équilibre précédent, respecte
les conditions de l'optimum. 11 faut remarquer d'ailleurs que
cette taxation uniforme se traduit en fait pour les services
du travail par un versement de 1'Etat au taux t proportiow
nellement aux salaires versés par les entreprises, ce qui
pourra paraître peu réaliste. Cet impat, on le voit, est dif-
férent de la taxe B la valeur ajoutée (T.V.A.).

Cependant, la théorie esquissée précédemment reste muette sur
les diverses modalités de financement du budget de llEtat,
d&s lors qu'on respecte la condition de proportionnalité. Pour
définir le meilleur syst&me prévaudront des considérations
relatives 8 la répartition entre les consommateurs et 1'Etat
des revenus des diverses entreprises.

34 prise en compte des impots

34.1 - RESULTATS GENERAUX
Apres avoir montré conment le concept d'optimum pourrait être
développé dans une économie dotée d'un Etat qui gère des
services publics collectifs, on va maintenant s'intéresser
conmie on l'a fait dans le S 32 aux criteres de comparaison de
deux é tats économiques quelconques.

34.11 - Expression de la variation d'utilité collective
avec un systeme fiscal quelconque

La variation d'utilité collective au cours d'une transforma-
tion s'dcrira :

' &
Si l'on fait les hypotheses suivantes :

- unicit6 des prix à la consommation
- maximation des satisfactions individuelles, compte tenu du
systeme de prix Zi la consommation et du revenu apres imp8ts
et transferts

- optimalité de la répartition des revenus aprhs impôts et
transferts, dans l'état initial.

On a alors :

Il en découle (P; étant les prix la consomation du bien i)

Si 1 'on Fnse

V représente la valeur marginale que la collectivité attache
a au service public collectif s L (somme des utilités margi-
nales individuelles pondérées par les coefficients d'inté-
rêt marginal pour la collectivité des individus correspon-
dants).

Avec cette notation, on peut écrire :

et énoncer :

Dans une transformation marginale, et sous les hypoth&ses
faites ci-dessus, la variation d'utilité collective est égale
la sobe :

- de la variation de valeur de la consomation B prix constants
- de la variation de valeur pour les individus, estimée d'un
point de vue collectif, des services publics gbnbraux B
valeur marginale constante

Si, de plus, l'économie considérée est f e d e et caractbrisée
par le plein emploi des ressources (maintenu dans la transfor-
mat ion)

et on peut écrire :

ce qui s'exprime :
La variation d'utilité collective est égale Zi la somme :

- des variations de revenus des entreprises, à prix constants
(Zvaluées avec le système de prix Xa consommation)

- des variations de dépenses des services publics, à prix
constants (ceux de la consommation) comptées négativ'ement.

- de la variation de valeur pour les individus estimée d'un
point de vue collectif des services publics généraux, à va-
leur marginale constante.

Ces deux résultats sont valables pour des systkmes fiscauxtres
génbraux. Pour pousser l'analyse et arriver à des résultats
plus directement utilisables,nous allons être obligés de faire
des hypotheses sur la structure du systeme fiscal.

34.12. - Cas d'un systkme fiscal de taxes sur la consom-
mation finale

On supposera que le systeme fiscal est constitué exclusivement
de taxes indirectes sur la consommation finale.

t. est le taux de l'impôt sur le bien i
1

Pi est le prix B la consommation du bien i;(l - ti) P i est le
prix B la production.

On complktera les hypotheses effectubes jusqu'à present sur le
fonctionnement de l'économie par les suivantes :

11 les entreprises maximisent leurs bbnéfices B prix constant
avec le systkme de prix à la production

On a donc :

Dans cette seconde relation di£ fbrentielle, les niveaux sr
des services publics collectifs sont considérés comme données

On peut alors écrire, qh étant une constante caractérisant
l'entreprise h

Si maintenant les niveaux sl sont modifiés, on a

fh dqh +Z fa dSk = 0 i l 1 II
h h et donc en multipliant par ,+,h et en substituant cp f. par

(1 - ti) pi 1

u
Si l'on fait ds = O pour u # II

et dsU = 1 pour u = II

la variation de revenu de l'entreprise h, lorsque le niveau du
h h

service s
e

s'accroit d'une unité, est égale à - P . fe
.2/ Les services publics sont géres de :Eaçon optimale, c'est-8-

dire que leur codt marginal (determine en utilisant le sys-
teme de prix A la consommation) sont egaux A la souune de
leurs valeurs marginales pour les individus et pour les en-
treprises.

Cette hypothese s'exprime en &rivant que :

En sommant les relations (34,5), par rapport à l'indice h et
la relation (34,7) par rapport à l'indice R et en ajoutant
membre à membre les équations obtenues, les termes

k

et en portant dans l'expression de la variation d'utilité col-
lectivé (34,3), on trouve :

Sous les hypotheses que nous resumerons ci-dessous :

- unicite des prix A la consommation
- maximation des satisfactions individuelles
- optimalit6 de la repartition des revenus
- plein emploi des ressources
- maximation A prix constant des benefices des entreprises
- gestion optimale des services publics,
le systeme fiscal etant constitue exclusivement d1imp8ts indi-
rects A la consommation,la variation d'utilitb collective dans
une transformation marginale de l16conomie est egale A h sonme
des imp8ts perçus sur la variation,A prix constants,de l'offre
nette du secteur productif.

Ainsi,on aboutit A un resultat particulierement simple et nul-
lement evident a priori,lie A la structure du systeme d'impôts
etudie. Pour montrer quelle peut Ctre la portée concrete des
considerations precedentes (transposables dans le cas de sys-
ternes fiscaux differents) onva maintenant traiter les problemes
souleves par la fiscalite des carburants dans l'analyse de la
rentabilite des investissements routiers.

34.2 - UN EXEMPLE CONCRET : la prise en compte des impats sur - - - - - - - - - - - - - - - - -
l'essence dans les calculs de rentabilité des investissements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
routiers - - - -

34.21 - Présentation du probleme
Sur un itinéraire routier donné,des investissements permettant
d'accroftre la capacité ont pour conséquence, à trafic donné,
de diminuer le coQt d'utilisation pour l'usager, en entrafnant
des gains de temps et de sécurité et des économies d'essence
(particulierement importantes si l'itinéraire est initialement
trBs encombré) et d'autres économies d'exploitation : pneuma-
tiques, réparations. Par ailleurs, la diminution du coQt pour
l'usager entrafnera en général un accroissement de trafic dit
"trafic induit".

L'essence est,en général, dans les pays occidentaux un produit
frappé de taxes indirectes trBs importantes qui entrafnent B
la fois une différence entre le prix à la consommation et le
coQt de production et des rentrées substantielles pour le bud-
get de 1'Etat. Des lors le problème est le suivant : faut-il,
dans l'évaluation des économies réalisées, du point de vue de
la collectiyité décompter l'essence "taxe incluse", c'est-8-
dire en se référant au prix pour pusagerou,au contraire,'hors
taxe" tenant ainsi compte des pertes de rentrées fiscalesde
llEtat, ou encore, effectuer un calcul plus nuancé ?

34.22 - Le modèle utilisé
On supposera qu'il n'y a qu'une seule catégorie de trafic :
les utilisateurs de voitures particulières, seuls par ailleurs
8 consommer de l'essence frappée d'un impat indirect dont la
part dans le prix à la consommation est t.

On supposera par ailleurs que l'utilisation de l'itinéraire
routier donne lieu à la perception d'un péage p. Les investis-
sements envisagés permettent d'accroftre le trafic de dT, et,
par ailleurs, entrafnent des économies d'essence.

Pour plus de simplicité :

- on négligera les autres dépenses nécessaires pour circuler
et par conséquent les économies y afférentes

- on supposera que l'impôt sur l'essence est le seul impôt in-
direct.

Les biens et services considérés sont alors :

- le trafic T donnant lieu 8 la perception d'un péage p
- l'essence dont la consommation totale est

qe ' le prix à la
consommation p . l'impat unitaire est égal à tp -

e e ' - les autres biens repérés par l'indice i (l....n)
Les entreprises sont :

- l'entreprise d'exploitation de route (indice r)
- l'entreprise de production d'essence (indice e)
- les autres repérées par l'indice h

De plus, 1'Etat g&re des services publics généraux repérés par
1 'indice Z .

34.23 - Résolution du modele
soit e la consommation unitaire d'essence initialement néces-
saire par unité de trafic.

L'utilité marginale d'une unité de trafic pour chaque consom-
mateur est proportionnelle A :

La variation d'utilité collective liée A l'investissement en-
visage est alors

sous les conditions de validité précisées plus haut.

Sous la double hypoth&se, que les services publics n'ont pas
d'incidence sur les fonctions de production des entreprises et
que d'autre part ils sont gérés de façon optimale,clest-A-dire
que l'on a

R R
z p . dq. + v~ ds - O
1 1 1

On peut écrire :

Par ailleurs, dans l'hypothése du plein emploi, on a :

et donc :

Ces divers termes peuvent s'interpréter connue suit :

- 1 p dqh est la variation de revenu des entreprises h ih i i il est nul si ces entreprises maximisent leur
revenu, ce que nous supposerons.

est la variation de dépenses - dD A prix
e

constants de l'entreprise productrice d'es-
sence.

- f Pi dq: est la variation de dépense - d Dr A prix
constant de l'entreprise d'exploitation des
routes.

-le dernier terme, enfin, est la variation de dépenses, A prix
constant,des services publics. Si l'on admet lthypoth&se&'b
ne gestion" de ces services publics, ce terme s'annulera avec
le terme ZRv dsR de la variation d'utilité collective.

La variation d'utilité coll.ective peut alors s'écrire :

De plus, on peut supposer que l'entreprise de producti~n d'es-
sence maximise son revenu en tenant compte du prix "hors taxe"

(1 - t) Pe, ce qui entraîne :

Par ailleurs, la consommation d'essence est égale à

de représente les économies d'essence, à l'unité de trafic,
que permet 1 ' investissement envisagé.
Compte tenu de ce qui précede, on peut alors écrire :

On a ainsi ramené la variation d'utilité collective à deux
termes :

a) p d T - d D représente la variation de revenu de l'entre-
r

prise routière, évaluée à prix constant. Cette variation
elle-même se décompose de la façon suivante :

. à l'actif le produit des péages procurés par le trafic
induit,

. au passif, le coQt de l'investissement et des dépenses
d'entretien relatifs à l'extension envisagée.

b) Le deuxième terme, dont l'interprétation répond au probleme
que nous nous sommes posés peut s'écrire sous deux formes dif-
férentes :

soit t pe dqe + pe T (- d e)

soit pe (1 - t) T (- de) + p t d T
e e

Sous la premiere forme, le premier terme exprime la variation
de valeurs du produit des taxes sur l'essence@ prix constant)
positif si la consommation globale s'accroît, négatif dans le
cas contraire ; le second terme représente la valeur des éco-
nomies d'essence "taxe incluse'' réalisées par les usagers cons-
tituant le trafic initial (ce terme est positif puisque de est
négatif).

Sous la seconde forme, ce terme apparaTt conne la somme de la
valeur ''hors taxes" des économies d 'essence réalisees sur le
trafic initial et de l'accroissement des taxes encaissées par
1'Etat du seul fait de l'augmentation du trafic.

Dans le cas particulier où il n'y a pas de trafic "induit"
(d T = O) la variation d'utilité collective prend une forme
particulièrement simple.

La variation d'utilité collective est &gale a la difference
entrelavaleur de lf6conomie d'essence evalue hors taxe et les
depenses supplementaires du gestionnaire des routes entraînees
par l'extension de capacite.

34.24 - Conclusions
L'analyse qui vient dl&tre effectuee, montre, sur un exemple
particulierement significatif, comment on peut tenir compte de
la presence de 1'Etat et du systeme fiscal dans un calcul &CO-
nomique. 11 met en evidence que la solution ne peut être obte-
nue que moyennant la mise en oeuvre d'un modele global de 1'4-
conomie, et que le recours a l'intuition peut être trompeur.
Par ailleurs, il montre qu'a chaque &tape du calcul, des hypo-
theses strictes sont faites, conditionnant ainsi la validite
des resultats obtenus.

On peut remarquer egalement que l'introduction des autres &CO-
nomies entraînees par l'amelioration des conditions de circu-
lation (pneumatiques, reparation, ... ) ne pose pas de problème
special et n'apporterait pas d'enseignement particulier du
point de vue que nous avons adopte. Ces economies sont A rete-
nir, A leur valeur pour l'usager : elles interviennent, en
effet,pour cette valeur,dans la variation d'utilite collective
(a la condition, evidemment, que les entreprises de production
correspondantes, maximisent leur revenu A prix constant).

I V . coût marginal et politique de prix

Les premiers chapitres ont montré le rale que la théorie.éco-
nomique assigne aux coOts marginaux dans la fixation des prix.
Ce rale appara'ît détermin.ant pour des décisions priseskns une
économie dont le fonctionnement repose sur les règles du marché
Il est important, pour cette raison, de préciser un certain
nombre de points relatifs au calcul des coOts marginaux et de
la politique tarifaire.

Il apparaît que le problème de la fixation d'un tarif sur la
base de coQts marginaux soulève deux types de difficultés.

Il s'agit d'abord de bien préciser la nature de la prestation
dont on veut calculer le coOt. Pour parler coOt marginal, il
faut connaftre, par exemple, lorsqu'il s'agit d'un transport,
la quantité des biens à acheminer,les modalités d'acheminement
(importance des envois), peut-être le conditionnement, la date
du transport et naturellement l'origine et la destination.

Il s'agit ensuite de rechercher avec soin toutes les dépenses
que le transport supplémentaire présentant de telles caracté-
ristiques occasionne, ce qui signifie,par exemple, que l'on ne
s'arrête pas à l'analyse des dépenses directes, mais que l'on
se préoccupe des répercussions sur les retours à vide de maté-
riels ainsi que sur d'autres postes de dépenses liés de façon
moins évidente à la prestation 3 assurer.

Pour illustrer la manière de conduire cette analyse,un certain
nombre de cas sont examinés.0n vad'abord s'arrêter à l'analyse
du rale spécial que joue le facteur équipement dans la forma-
tion des coOts.

41 cout marginal a court terme et a long terme

Supposons que nous ayons à déterminer le coOt marginal de
transports pour une entreprise qui possède un camion.

Pour acheminer un certain trafic que l'on suppose,pour simpli-
fier, constant chaque année, soit Q, la dépense totale de

l'entreprise apparaît comme une fonction de Q et des carac-
téristiques du camion qu'elle utilise (par exemple sa capaci-
té), soit Z une variable qui caractérise le matériel utilisé.

Pour un véhicule, la dépense totale
de production est représentée par
une des courbes D du graphique ci- 4
joint. Cette courbe présente la Ca- Depense
ractéristique d' être croissante t o t a l e
lorsque le trafic augmente, mais
augmente très vite dès que le tra-
fic approche d'un certain seuil qui
caractérise la saturation de l'uti-
lisat ion de 1 'équipement.

l

Si l'on utilise un équipement de
capacité plus grande (courbe D2 ) l
lorsque le trafic est faible,
l'équipement de taille Z2 entraîne
des dépenses totales plus fortes
mais il permet d'assurer un trafic
supérieur sans pour autant échapper
A la limite que constitue la satu- -
ration. D'où la forme de la courbe
D2 et sa place par rapport A la

Q

courbe D
1

On peut imaginer ainsi un ensemble
de courbes représentant les fonc- marginal
tions de dépenses dites "à court
terme", ce qui signifie qu'elles

,Oiit 1
sont "A équipement donné". L'en-
semble de ces courbes présente
une enveloppe qui a la propriété
caractéristique suivante : au point
de contact, c'est-A-dire, lorsqu'un
équipement Z travaille au niveau
d'activité Q, abscisse du point de
contact de la courbe D et de la courbe A ,
on obtient le minimum de la dépense de
production nécessaire pour fournir Q,
c 'est-A-dire la plus petite de toutescel-
les que permettent d'atteindre les divers

Q
équipements de taille Z, qu'ils soient plus petits que Z (cas
Z ) ou plus grands (cas Z 1.

2
1 3

La courbe A apparaEt ainsi comme représentant la dépense mini-
mum de production pour produire Q,ce minimum étant atteint par
le dimensionnement adéquat de l'équipement utilisé. La courbe
A représente une fonction qui parfois est appelée fonction

de dépenses B long terme. Il s'agit en fait d'une appellation
impropre, si l'on se réfere B la définition donnée ci-dessus.
Le seul cas où l'évolution réelle d'un équipement pourrait se
rapprocher de l'indication donnée par la courbe A est celui
où l'on exprimerait comment varie la dépense de production dans
le cas d'un équipement qui serait successivement et intégrale-

ment renouvelé après usure par des équipements de tailles dif-
férentes.

Comme cela a été fait au chapitre 11, il est facile de déduire
des fonctions de dépenses décrites ci-dessus des coQts margi-
naux. A la fonction dépenses à court terme, c'est-8-dire à
équipement donné, correspond un coQt marginal Cm, dit à court
terme ou d'exploitation. A la fonction dépenses à long terme,
correspond un coQt marginal à long terme CM.Les courbes repré-
sentatives des variations de chacun de ces coQts marginaux par
rapport à la quantité produite sont représentées sur le gra-
phique précédent.

Le coQt marginal à court terme apparaft comme étant celui qui
exprime comment varient les dépenses de production pour faire
face à un accroissement d'activité lorsque 1 'on ne modifie pas
l'équipement dont on dispose pour la production. Le coQt mar-
ginal à long terme est, au contraire, le coQt de production
d'une unité supplémentaire, lorsque l'on s'arrange pour que la
taille de l'équipement reste adaptée au volume de production.

La forme des courbes de dépenses montre que : lorsqu'un équi-
pement est utilisé à un niveau de production supérieur au ni-
veau qui est adapté à sa taille (cas Ml ), le coQt marginal
à court terme est supérieur au coQt marginal à court terme que
permet d'obtenir l'équipement qui travailleàla capacité adap-
tée (cas M2), ce dernier étant d'ailleurs égal au coQt margi-
nal à long terme pour ce niveau de production (propriété qui
résulte du fait que la courbe A est l'enveloppe des courbes
Dl.

Si, au contraire,un équipement travaille à un niveau inférieur
à celui de sa capacité (cas le coQt marginal à court terme
est inférieur au coût marginal à long terme.

Il a~~arait ainsi aue si un éauioement est sous-utilisé. le
coQt marginal de production est "faible" et, qu'au contraire,
si l'équipement est sur-utilisé, le coOt marginal est "élevé",
situation qui s'apprécie naturellement par rapport au coOt
mareinal dans le cas où l'éaui~ement est ada~té. coQt aui est
égal au coQt marginal à long terme et qui représente, on le
sent du moins, la situation optimum.

La notion du coQt marginal à court terme et à long terme,qulil
est difficile de définir en termes précis dans les cascancrets
est néanmoins importante car elle met en évidence la proprié-
té suivante : les tarifs étant fixés au niveau des coOts mar-
ginaux, il est important d'adapter la taille de l'équipement
au niveau de la production ; sinon les recettes ne seront pas
en rapport avec les dépenses. Il convient d'ailleurs de noter
que, du point de vue économique, la situation de sous-utilisa-
tion est tout aussi préjudiciableqte celle de sous-équipement.
Cette règle fondamentale doit toutefois,dans la pratique, être
précisée selon les données réelles du problème étudié.Le para-
graphe suivant montre comment elle s'exprime dans certaines
circonstances.

Les raisonnements qui précèdent ont été conduits sur la seule
base de la forme des courbes représentées sur les sch6mas.A
titre dlexercice,il est intéressant de donner la formalisation
mathématique du raisonnement précédent.

La fonction de depenses a court terme apparaît ainsi comme une
fonction de Q et de Z

Le caQt marginal 3 court terme est la derivée partielle de la
fonction D par rapport a Q :

C'esr une fonction de Z et de Q. La taille de Z de l16quipe-
ment adapte au niveau donne Q de production est telle que pour
cette valeur de Z, la dépense D est minimum, soit

Le coQt marginal a long terme est celui qui est obtenu en cal-
culant la dérivee de la fonction D dans le cas d Z reste adap-
té la production, c'est-a-dire Z &tant une fonction de Q

On constate bien que lorsque un équipement travaille au niveau
de production adapte a sa-capacite ,on a :

42 l'incidence de la forme de la demande sur le tarif

Nous allons maintenant examiner dans un certain nombre de cir-
constances particulières, cornent se pose le problème de
l'adaptation des tarifs aux coQts marginaux.

42.1 - Demande d6çéquilibree

Lorsque la demande de transport est desequilibree, le problème
consiste a savoir quelle est la repercussion sur les coQts
d'exploitation d'un réseau de transport, d'une augmentation de
trafic qui implique des retours vide.

Il est bien clair que le coQt marginal doit couvrir la varia-
tion des depenses de retours a vide qu'entraîne le transport
supplementaire. La difficulte reside dans l'elaboration d'une
méthode qui permette de tenir compte de ces déplacements
vide de façon sys.tematique et correcte.

KOOPMANS a proposé un modèle qui utilise la technique' de la
programmation linéaire pour résoudre le problème. La présenta-
tion du modèle de KOOPMANS dépasse le cadre de ce manuel mais
il est intéressant toutefois d'en donner les conclusions.

Le modèle de KOOPMANS montre qu'à l'organisation optimum des
dépla ements en charge et à vide sur un réseau de transport,
correspond un système de prix égaux aux coQts marginaux et que
ce système de prix produit des recettes qui couvrent la tota-
lité de depenses de transport en charge comme à vide (1). Les
coQts marginaux de transports entre les points i et j, soit
u s'obtiennent en ajoutant au coût de ransport en charge ij'
tij, la différence de cote des points dlorigine et de desti-

nation (soit v - v.) i J

L'ensemble des cotes des points d'embarquement et& débarque-
ment dépend des déplacements de matériels vides organisés de
façon optimum, et sont déterminés par le coQt des déplacements
à vide, le long des itinéraires d'acheminement optimum.

Pour le tronçon sur lequel une circulation à vide existe, si
s est le coQt d'acheminement, on a :
i j

Si le réseau de transports se réduit à un seul axe, on retrou-
ve des résultats évidents :lorsque le transport supplémentaire
se fait dans le sens le plus chargé, le coût marginal est égal
au coût du déplacement en charge, augmenté de celui du retour
à vide. Si, par contre, le transport supplémentaire se fait
dans le sens le moins chargé, le coQt marginal de transport
est simplement égal à l'excédent du coQt du déplacement en
charge sur le coQt du déplacement à vide. Le modèle de KOOPMANS
apparaît finalement comme la généralisation de ce résultat
élémentaire au cas d'un réseau quelconque.

Ainsi présentée, la prise en compte de déplacements à vide
peut sembler conduire à une différenciation très importante
des tarifs suivant le sens de parcours lorsque le trafic est
déséquilibré.

Il convient de remarquer que, dans la pratique, la différence
des coQts marginaux lorsque le réseau est complexe, n' est
toutefois, pour la majorité des liaisons, pas aussi grande
qu'elle l'est dans le cas d'un simple axe de transport. Par
ailleurs, si la divférence des tarifs devait s'établir au ni-
veau qu'indique le raisonnement précédent, il est très proba-
ble que se produirait alors une rénction de la demande de
transport qui pourrait bien être telle que la demande de trafic
sur le sens le plus chargé devienne du même ordre que celle
sur le sens le moins chargé, les tarifs restant naturellement

(1) C'est une conséquence de la linéarité des équations et des
contraintes

plus élevés dans le sens où la demande était initialement plus
forte.

Ces circonstances montrent que l'application d'une tarifica-
tion fondée sur les coQts marginaux peut entraîner des réac-
tions de la demande qui contribuent à atténuer les différences
que suscitent les caractéristiques du trafic.

Lorsque l'on essaie de calculer dans des cas réels des tarifs
adaptés aux déséquilibres de trafic, conformément aux princi-
pes énoncés dans ce chapitre, il est nécessaire de s'assurer
que les déséquilibres observés présentent une stabilité suf-
fisante dans le temps. Une expérience concrère faite dans le
cas du réseau ferré français a d'ailleurs montré que l'on
observait une stabilité nettement plus grande dans la cote
des divers points du réseau que dans les itinéraires de dépla-
cements à vide, ce qui permet de penser que des tarifs qui
tiendraient compte des déplacements à vide, comme il est dit
ici, seraient relativement plus stables que les déplacements
de matériel à vide nécessaires pour acheminer le trafic, sui-
vant les époques de l'année.

42 . 2 - DEMANDE SAISONNIERE
Le simple bon sens montre que lorsque la demande de transport
n'est pas régulière au cours de l'année, une demande supplé-
mentaire, qui parait en période de pointe, coOt plus cher à
satisfaire que si elle se manifestait en période creuse : les
coQts marginaux en période de pointe sont plus élevés que les
coQts marginaux en période creuse. Si le sens de la variation
des coQts marginaux en fonction des fluctuations saisonnieres
de la demande est clair, l'expression quantitative de ces
variations est, en revanche, beaucoup plus délicate. Là aussi
il s'agit largement de cas d'especes. Un manuel ne peut dé-
crire que quelques circonstances forcément schématisées.

- Imaginons d'abord le cas d'un équipement dont la durée est
grande (en la supposant infinie) et dont l'utilisation an-
nuelle T est constante pendant toute la durée de vie de
l'équipement. Si une demande supplémentaire entrafne l'ac-
quisition d'un nouvel équipement dc cette nature, le coQt
marginal A de cette demande pendant toute la durée de vie
de l'équipement est égal au coût de l'investissement 1
augmenté de la somme actualisée des dépenses annuelles
d'exploitation (e par unité de temps), soit :

11 est souvent utile d'exprimer le coOt marginal en le rame-
nant à celui de la production pendant une unité de temps cha-
que année : soit a ce coQt marginal. A est égal à la somme
actualisée des recettes annuelles que procure a (soit aT) :

Le coQt marginal annuel apparaît ainsi égal à

On verra plus loin que le terne iI apparaît comme la valeur
de l'amortissement économique de l'équipement.

Dans ce cas trks simple, il est clair que si la dur6e annuelle
de l'utilisation de l'équipement diminue, le coOt marginal
augmente mais il faut bien noter les limites de cet exemple :
nous avons simplement calculé le coOt marginal dans l'hypo-
thèse d'un equipement utilisé, chaque année, pendant la même
periode et dans 1'hypothSse où cette période viendrait A aug-
menter (il s'agit naturellement de la même augmentation cha-
que année).

- Dans la pratique, lorsque l'on doit satisfaire une demande
saisonniPre, la situation est toute differente. En géneral,
d'une année sur l'autre la forme de la demande se retrouve
mais son niveau a varie. Par ailleurs, pour satisfaire cette
demande, on dispose d'un ensemble d'equipements dont les
caractéristiques ne sont jamais les mêmes, ne serait-ce que
par suite du fait qu'ils ont 4t6 acquis successivement au
cours du temps (en fonction du developpement de la demande
d'une année sur l'autre) et que, de ce fait, ils présentent
des depenses d'exploitation qui vont en croissant avec l'âge
par suite simplement du vieillissement de 114quipement au-
quel s'ajoute, parfois, un effet d'obsolescence.

Lorsque l'on doit ainsi satisfaire une demande saisonnière en
utilisant un parc de materiel dont les depenses d'exploitation
varient, il est clair que pour minimiser les depensesd'exploi-
tation de l'année, il convient de faire fonctionner le plus
longtemps possible des équipements dont les dépenses d'exploi-
tation sont les plus faibles. On est ainsi conduit à hierar-
chiser les divers équipements dont on dispose suivant 1 'ordre
croissant de leurs dépenses d'exploitation unitaire.
A une époque x de l'année, le coQt marginal de production
est égal aux dépenses d'exploitation de l'unit6 marginale qui
doit être mise en service B cette epoque. En fixant le tarif
au niveau de ce coQt marginal, on est conduit à percevoir des
recettes qui, pour toutes les tranches de production assurées
par les autres unités de coiît d'exploitation plus faibles,
entrafnent un excedent des recettes sur les charges d'exploi-
tation de chacune de ces unités. Il apparaft ainsi que, pour
chacune des unités du parc qui est utilisée pendant la pé-
riode T de ltann6e, les recettes procurées par son utilisation
dépassent le total des charges d'exploitation correspondantes
soit eT. Si l'on appelle A cet excédent des recettes sur les
charges d'exploitation de l'année pour l'unit4 considérée, on
démontre que si le parc de materiel est correctementdimension-
né pour faire face aux évolutions de la demande (au cours des
saisons et d'une annee sur l'autre), la somme actualisée des
valeurs A annuelles est égale B la valeur de l'investissement
initial 1

O

On peut retrouver dans ce cas la proprieté énoncée au 5 15.1
B propos du coQt marginal à court terme et à long terme. Si
le parc de matériel est sur-equipe, ce qui peut résulter du
fait que la demande est plus faible que celle prevue, le

coQt marg ina l à l ' époque x de l ' a n n é e s e r a t o u j o u r s c e l u i
de l ' u n i t é marg ina le q u i a s s u r e l a p roduc t ion , mais l a deman-
de é t a n t p l u s f a i b l e , c e t t e u n i t é marg ina le e s t c l a s s é e à un
niveau i n f é r i e u r dans l a h i é r a r c h i e des équipements : on
r e t rouve b i e n i c i l q conséquence qu l en t r aÊne un sur- équipe-
ment : l e coût marg ina l e s t dans c e c a s p l u s f a i b l e que dans
l e c a s du pa r c de c a p a c i t é adap t é .

Pa r a i l l e u r s , l e coQt marginal é t a n t p l u s f a i b l e , l a gran-
deur A (excédent des r e c e t t e s s u r l e s dépenses d ' e x p l o i t a t i o n )
s e r a elle-même p l u s f a i b l e ~i b i e n , qu 'au t o t a l , pendant l a
durée de v i e de l 'équipement

En c a s de sur- équipement, l e s r e c e t t e s ne permet ten t p l u s
d ' a s s u r e r l a couve r tu r e des i n v e s t i s s e ~ ~ e n t s . En c a s de sous-
équipement, l e raisonnement e s t l e même e t l e s conc lus ions
opposées.

- Exemple : l e l e c t e u r pour ra s ' e x e r c e r B r é soud re , dans l ' e s -
p r i t d e c e q u i v i e n t d ' ê t r e d i t , l ' e x e r c i c e s u i -
v a n t :

La demande de gaz des abonnés d ' une agglomérat ion
est r e p r é s e n t é e pa r l e diagramme d e charge de l a f i g u r e c i -
dessous :

ACoiiso~iimation mensuelle
4 0 0 000 m3/mois

- - - - -- 2 0 0 000 m3/moir

Pendant l e s q u a t r e mois de p o i n t e , l a c o n s o m a t i o n e s t d e
400 000 m3 /mois

Pendant les h u i t a u t r e s mois , e l l e e s t comprise e n t r e :
200 000 m3 et 400 000 m3, l e diagramnie de charge é t a n t l i n é -
aire.

P o u r ' s a t i s f a i r e l a demande en gaz de l ' agg loméra t i on , on d i s -
pose d e t r o i s sou rce s p o s s i b l e s :

1 - du gaz de gazogène, f o u r n i p a r des i n s t a l l a t i o n s e x i s t a n -
tes dont l a c a p a c i t é e s t d e 80 000 m3/mois e t l e coQt
marginal de p roduc t ion à c o u r t terme de 8 ~ / m 3 .

2 - du gaz de c o k e r i e , f o u r n i pa r une c o k e r i e e x i s t a n t e dont
l a c a p a c i t é e s t de 320 000 m3/mois e t l e coQt marg ina l de

- produc t ion B cou r t terme de 4 ~ / d .

3 - du gaz naturel craqué. L'installation de craquage n' exis-
te pas. Le coQt de sa création est, avec un amortissement
annuel total constant, proportionnel à la capacité de
l'installation et égal à 0,9 F. par m3 produit lorsque
la capacité est pleinement utilisée toute l'année. Le
coQt de production d'un m3 de gaz est en outre de 3 F.

On demande de déterminer la politique optimum de livraison de
gaz à l'agglomération ainsi que la politique de prix de vente
qui est proposée pour la production obtenue avec la politique
optimum.

- Réponse : Il convient d'assurer pour 230 000 m3 par mois
la fourniture de gaz avec du gaz craqué et pour
le reste, soit 170 000 m3 par mois avec du gaz
de cokerie. Le gaz craqué est évidemment celui
qui est utilisé toute l'année.

Le prix de vente doit être de 3 F. lorsque la
demande est inférieure à 230 000 m3 (pendant 1
ou 2 mois) et de 4 F. lorsqu'élle lui. est. supé-
rieure (le reste de l'année).

42 .3 - DEMANDE ALEATOIRE , SERVICE GARANTI OU NON

La demande de transport est dite aléatoire si, pour un système
de tarifs, la valeur qu'elle prend à chaque époque est une
variable aléatoire.

La loi de répartition de cette variable aléatoire peut avoir
des paramètres indépendants du temps ou variables avec le
temps'.

Nous allons limiter nos réflexions au cas où la valeur moyenne
est constante dans le temps. Si elle devait varier, on sur-
imposerait auK conséquences qui vont être examinées ici,celles
vues au 5 précédent.

Il s'agit de la demande totale, qui résulte de demandes indi-
viduelles. Nous supposerons ces demandes individuelles indé-
pendantes et en grand nombre.

Nous serons amenés à introduire deux types de servicede trans-
port :

- l'un garanti avec une probabilite de defaillance fixee
(si p est très petit, ce cas correspond à l'hypothèse où il
y a obligation de transporter.).

- l'autre non garanti
Pour chacun de ces biens, nous supposons la demande connue,.
et sa loi de probabilité suffisamment schématisée par deux
paramètres : valeur moyenne T et écart type a

- Calcul de la marge de sécurité pour la capacité,
Si les demandes individuelles sont nombreuses et indépendan-
tes, la demande totale est gaussienne. Dans ce cas, la proba-
bilité P, pour que la demande totale excède un niveau

To - .I< To '
est liée à l'écart réduit. k = a

par une r e l a t i o n p = p (k)

S i l ' o n s e f i x e une p r o b a b i l i t é de d é f a i l l a n c e fi , c 'es t- à- di re
un s e r v i c e de t r a n s p o r t g a r a n t i à 1 - fi , il f a u t donner au
parc une dimension T t e l l e que

O'

avec

correspond à l a demande moyenne

u c a r a c t é r i s e l ' i r r é g u l a r i t é de l a demande

Une t a r i f i c a t i o n e r ronée du s e r v i c e t r a n s p o r t il a s s u r e r peut
c o n s i s t e r à n é g l i g e r l ' e f f e t de l a g a r a n t i e du t r a n s p o r t , donc
à sous- est imer l ' i n f l u e n c e , s u r l e parc , du s e r v i c e de t r a n s-
p o r t que l ' o n veu t f a c t u r e r e t à ne l u i imputer que l a p a r t
correspond à l a demande moyenne ( c e l l e que l ' o n e n r e g i s t r e
f ac i l emen t ) . Nous nous l im i tons i c i à l 'examen de l a p a r t dee
dépenses qu i correspond à l a couver ture des charges f i x e s d e
m a t é r i e l . I l f a u d r a i t l u i a j o u t e r dans un cas concre t l a va-
l e u r du coût marginal d ' e x p l o i t a t i o n .

- Coût marginal de l a demande movenne
-

S i T. e s t l a demande du c l i e n t i, T s a demande moyenne
1

S i l a demande de i s e f i x a i t à T. + - 4 Ti, on cons t a t e -
r a i t un accroissement de demande 'moyenne t o t a l e .

donc une dépense supplémentaire pour l e parc de S. A T en
appe l an t S l a dépense annue l l e supplémentaire par u n i t é de ca-
p a c i t é .

Le coût marginal de l a demande moyenne s ' é t a b l i t f inalement
a

L'accroissement AT. que nous fac turons au t a r i f S e s t un ac -
1 croissement définitif. S ' i l n ' é t a i t que passager ce ne s e r a i t

qu'une v a r i a t i o n a l é a t o i r e qu i i n f l u e r a i t s u r l a d i s p e r s i o n
e t s e r a i t f a c t u r é comme i l e s t d i t c i- dessous.

- Coût mareinal du m ara mètre " i r r é e u l a r i t é "
S i a. e s t l ' é c a r t type du c l i e n t i , en v e r t u des hypothèses

1
f a i t e s s u r l e s demandes i n d i v i d u e l l e s , on peut é c r i r e :

S i l e comportement du c l i e n t i s e m o d i f i e , pa r exemple pa r
s u i t e de l a c o n s t r u c t i o n d 'un s tockage r é g u l a t e u r , i peut
v a r i e r de A a Dans c e s c o n d i t i o n s , l ' i n f l u e n c e s u r u e s t :

i '

donc s u r l e s dépenses :

Le coû t marg ina l de l ' i r r é g u l a r i t é du c l i e n t e s t donc
a

k
i

S
a

- R e c e t t e s p rocurées par 1.a ven te du s e r v i c e à son coû t margi-
na 1 -

E 1 l e s p rov iennen t :

- de l a f a c t u r a t i o n des demandes moyennes

- de l a f a c t u r a t i o n des i r r é g u l a r i t é s i n d i v i d u e l l e s

A i n s i dans c e c a s , l e s r e c e t t e s p rocurées p a r l a v e n t e du ser-
v i c e à son coû t marg ina l é q u i l i b r e n t l a t o t a l i t é des dépenses
s o i t :

S T = S ( T + k a )
O

S i , par s u i t e d 'une a n a l y s e e r r o n e e , s e u l e l a demande moyenne
a v a i t é t é f a c t u r é e , l e s r e c e t t e s ST ne c o u v r i r a i e n t pas l a t o-
t a l i t é des charges STo.

- E f f e t d 'une t e l l e t a r i f i c a t i o n s u r les c l i e n t s
Le c l i e n t i q u i consomme des s e r v i c e s de t r a n s p o r t avec l a
g a r a n t i e 1 - /3 , p a i e

On v o i t que l e c a r a c t è r e a l é a t o i r e de l a demande du c l i e n t i
r e v i e n t à l u i f a c t u r e r , a u p r i x qu 'on l u i f e r a i t payer s i s a
demande é t a i t p a r f a i t e m e n t r é g u l i è r e , une demande f i c t i v e O i
s u p é r i e u r e à T dans l e r a p p o r t :

i
i O i

a
i

= l + k O
Ti

u
Ti

On v o i t ,ue 1. c ~ e ' f i c i e n t d9a_igm . n t a t i . , , i e n t compte .
- ?ai. . de &a gar 1 j t i e a t t h:e a b s e r v i c e ci : t r a n s p 3 r t

v i
- par -a- de l ' ; i réculqrf t.2 r e l a t i v e du c l i e n t i par rappor t

à c e l l e de l 'ensemblti de 1; c l i s ~ ~ t h l e
i

par -- d? l ' impor tance de L i r r é g u l a r i t é propre A - i . , l i e r t
i Ti

- S ~ r v i c e non g p r a n t i
C i qu i p-Ccèd- @ i 1 d p o ~ 2 qce l e s e r v i c e non garar i t i e s t g r a t u i t
(on ne t i e r t ,AS canipte de l a couverture des charpes propor-
t i o n n - l l e s qu, d o i t s e f a i r e dans tous l e s c a s ) .

Ceci n ' e s t y ~ ~ s s i b l t : que s i !a va l eu r moyenne de IF der.iandc
non g a r a ~ i t i e ntexc2de pas l a capac i t é r é s i d u e l l e moyenne

ca: 710:(: er tens ia r l de l a demande non g a r a n t i e n ' e n ~ r s f n e ;zuc-~
f r a i s d:.n~ ces . . ~ I I ~ L t i o n s .
S i l a dema;id~ non g a r a n t i e moyenne dépasse k a , il Fast i'q
f a c t u r e r A un p r i x pl t e l que l e s r e c e t t e s s o i e n i tnaxim3ai,i
sanp t e n i r co-npte de 1 ' éven tue l l e composante mo~ono? i s t ; q1.e
du p r i ~ . cptimmi).

-i ~é de Ti Lorsque 1 ' i r rég: : la- .. s ' a c c r o f t de : b LT I ' aug .~e~ i -
i

t a t i o l i de dépens23 n ' e s t p lus que de :

(S - p l ? ': A o = (S - p ' ) k ai A a a
Ca; i ? f a ~ t t e n i r compte des r e c e t t e s provenant i e l'aue;n:.nta-
t i o n de . , ~ p a c i t é o f f e r t e pour s a t i s f a i r e l a demande ndti garan-
t i e .

Ains i l e r e c ,i!.vcement des dépenses afféren-s ? i n mar.?;e de
s é c u z i t e e s i par tacé e n t r e l a f a c t u r a t i o n den i r r ég l ? i s r i t é s
e t l a v m t e de s e r v i c e s non g a r a n t i s .

Cet-te ûri.alyse p;i.it , > a r a f t r e quelque peu thc',c.>ri.qcic- :-t poiirt3.n'-
e l 1s scnéi,latise '>ie? un contexte r é e l e t t r è s ripa7idu.

II e s t f a c ? . l r J e t rouver des exemples de t ra; i , -s i ~ r é g c l i ~ r r
er a l é a t o i r e s pcur l e sque l s l e s problgmes JI.- r.ous èvoq::ons
i c i s o n t e s se : i ï i e l s : t e l e s t l e cas en pa r t i c i : l i e_ r du t..'&ns-
p o r t aér ier i , i+t l e s cons idéra t ions précédentes ont troilv.c? une
• -..-,,e .,, appl<.cat ion dans l a f i x a t i o n de c e r t a i n s t a r l f s des
3. . rcns--or ts e é r i e n s i n t é r i e u r s aux Etats-Unis e t progressive-
ment !'cxemnle e s t s u i v i pour l e s t a r i f s des t r a n s p o r t s i n -
teLnP tLoi iau~.

La p r i s e c3 , i cons idé ra t ion du c a r a c t è r e a l é a t o i r e de l a &mande
appor te pa? a i l l e u r s l a s o l u t i o n du paradoxe du "voyageur de
Caia is" q ? p ~ ~ é souvent aux t enan t s de l a t a r i f i c a t i o n margi-
n a l e (1 ) .

E l l e correspond B une n é c e s s i t é concre te importante : c ' e s t en
d é f i n i t ~ v e l a façon de donner un contenu économique B l a no-
t i o n d ' o b l i g a t i o n (le t r a n s p o r t e r , e t l e moyen d ' app réc i e r l e
conséquences de ce- te c o n t r a i n t e s u r l e plan économique.

43 le probleme des discont inuites d'equipement

43.1 - POLITIQUE DE PRIX OPTIMALE DANS LE CAS D'UN MDNOPOLE
I l n ' e s t pas i n u t i l e t o u t d 'abord de rappeler q u e l l e d o i t
ê t r e , dans l ' o p t i q u e de l ' i n t é r ê t généra l , l a p o l i t i q u e de
p r i x du ges t ionna i r e d'une e n t r e p r i s e d isposant d'un monopole.